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주요 내용

로그를 이용하여 지수방정식 풀기: 밑이 2인 경우

로그를 사용해 모든 a⋅bᶜˣ=d 꼴의 지수방정식을 풀 수 있습니다. 예를 들면 아래와 같이3⋅10²ˣ=7을 풀 수 있습니다:
1. 3으로 나누기: 10²ˣ=7/3
2. 로그의 정의 이용하기: 2x=log(7/3)
3. 2로 나누기: x=log(7/3)/2 이제 계산기를 사용해 방정식의 해를 반올림한 소수로 구할 수 있습니다.
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만든 이: 살만 칸 선생님

동영상 대본

y=5*2^t라는 함수를 봅시다 이 흥미로운 함수가 1111라는 값을 가지게 하는 t 값을 구하려 합니다 y=1111이 되는 t 값을 구하는 게 목표입니다 잠시 영상을 멈추고 어떤 t에 대해서 y가 1111이 될지 생각해 보세요 계산기가 필요할지도 모릅니다 생각해 보셨나요? 같이 해 봅시다 5*2^t가 1111이 되도록 하는 t를 구하려 합니다 여기 쓰겠습니다 5*2^t=1111입니다 대수적 계산을 할 때는 우리가 원하는 변수만 분리하는 게 편합니다 구하려고 하는 것이 t 값이니 좌변에서 5를 없애 봅시다 좌변을 5로 나누고 등호가 성립하도록 우변도 5로 나눕니다 그러면 2^t=1111/5가 됩니다 이제 t에 대해서 어떻게 풀 수 있을까요? 지수함수의 역함수가 무엇인가요? 로그함수입니다 a^b가 c라는 식은 log_a c=b라는 식과 같습니다 a의 b제곱이 c인데 밑이 a인 로그의 의미는 a를 몇제곱해야 c가 되느냐 하는 것입니다 그래서 이 등식 역시 a를 b제곱하면 c가 된다는 뜻으로 두 등식은 같습니다 양변에 밑이 2인 로그를 취합시다 좌변은 log_2 2^t가 되고 우변은 log_2 1111/5가 됩니다 좌변을 봅시다 2의 몇 제곱을 해야 2^t가 되나요? t제곱을 하면 됩니다 그래서 좌변을 정리하면 t가 됩니다 우변은 그대로 log_2 1111/5입니다 이제 t를 표현하는 식을 얻었는데 이게 얼마인지 어떻게 알 수 있을까요? 계산기에 log_2라는 버튼이 없는데 어떻게 계산할 수 있을까요? 지수의 유용한 성질을 이용하면 됩니다 밑이 2인 로그에 사실 밑이 무엇이든지 상관 없습니다 log_a c라고 합시다 이 값은 log_x c 나누기 log_x a와 같습니다 임의의 수 x가 같기만 한다면 말입니다 계산기의 로그 버튼은 밑이 10인 로그이고 ln은 자연로그, 그러니까 밑이 e인 로그이니까 밑이 10인 로그를 이용해 계산할 수 있습니다 이 값은 log_10 1111/5 나누기 log_10 2와 같습니다 계산해 봅시다 원한다면 밑이 e인 자연로그를 사용해도 좋습니다 여기서는 그냥 상용로그를 사용하겠습니다 log 1111/5가 여기 있는 분자고 여기 로그는 밑이 10인 로그입니다 이 값을 log_10 2로 나눕니다 그러면 7.xxx인데 약 7.796입니다 약 7.796입니다 t가 이 값일 때 y는 1111이 됩니다