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코스: 대수학 2 > 단원 8

단원 4: 로그의 밑변환 공식

로그의 밑변환 공식이란?

어떤 로그든 밑이 다른 로그로 다시 쓰는 방법을 배워봅시다. 이는 계산기로 로그를 계산할 때 아주 유용합니다!

식

\log_{2} (50)

의 값을 구하고자 합니다.

50

은

2

의 유리수 거듭제곱이 아니므로, 계산기 없이는 계산하기 힘듭니다.

그러나, 대부분의 계산기들은 밑이

10

이거나

e

인 로그만을 계산합니다. 따라서

\log_{2} (50)

을 구하기 위해서는, 우선 로그의 밑을 바꾸어야 합니다.

밑변환 공식

다음 공식을 이용하여 임의의 로그의 밑을 바꿀 수 있습니다:

참고:

이 공식을 사용할 때, 로그의 밑을 임의의 $x$ ‍로 바꿀 수 있습니다.
항상 그랬듯이, 이 공식이 성립하려면 로그의 진수는 양수여야 하고 로그의 밑은 양수여야 하고 $1$ ‍이 되면 안됩니다!

예: $\log_{2} (50)$ ‍ 계산하기

로그의 값을 구하는 것이 목표라면, 로그의 밑을

10

이나

e

로 바꿉니다. 이 로그들은 대부분의 계산기에서 계산할 수 있기 때문입니다.

\log_{2} (50)

의 밑을

10

으로 바꿔봅시다.

이를 진행하기 위해서,

b = 2

a = 50

, 그리고

x = 10

을 대입하여 밑변환 공식을 적용합니다.

\begin{aligned} \log_{2} (50) & = \frac{\log_{10} (50)}{\log_{10} (2)} & 밑변환 공식 \\ = \frac{\log (50)}{\log (2)} & \log_{10} (x) = \log (x) \end{aligned}

이제 계산기를 이용하여 값을 구할 수 있습니다

\frac{\log (50)}{\log (2)} \approx 5.644

이해했는지 확인하기

연습문제 1

$\log_{3} (20)$ ‍을 구하세요.
답을 소수 넷째 자리에서 반올림하세요.

연습문제 2

$\log_{7} (400)$ ‍을 구하세요.
답을 소수 넷째 자리에서 반올림하세요.

연습문제 3

$\log_{4} (0.3)$ ‍을 구하세요.
답을 소수 넷째 자리에서 반올림하세요.

밑변환 공식 증명

이쯤에서, 이런 생각을 하겠죠, "아주 좋은데, 왜 이 규칙이 성립하는 걸까?"

\log_{b} (a) = \frac{\log_{x} (a)}{\log_{x} (b)}

예제를 이용하여 봅시다. 위 예제를 사용하여

\log_{2} (50) = \frac{\log (50)}{\log (2)}

을 증명해야 합니다.

n

은

\log_{2} (50)

의 지수입니다. 이는

\log_{2} (50) = n

이라는 뜻입니다. 해당 로그의 정의에서

2^{n} = 50

을 구할 수 있습니다. 이제 등식의 양변에 대한 연산 순서를 바꿔서 등식이 유지되도록 해봅시다:

\begin{aligned} 2^{n} & = 50 \\ \log (2^{n}) & = \log (50) & A = B 라면 \log (A) = \log (B) \\ n \log (2) & = \log (50) & 멱의 법칙 \\ n & = \frac{\log (50)}{\log (2)} & 양변을 \log (2) 로 나눕니다 \end{aligned}

n

은

\log_{2} (50)

이므로, 원하는 대로

\log_{2} (50) = \frac{\log_{x} (50)}{\log_{x} (2)}

이 나왔습니다!

같은 논리로, 밑을 바꾸는 규칙을 증명할 수 있습니다.

2

를

b

로,

50

을

a

로 그리고

x

를 아무 수로 바꾸고 증명해 보세요!

\log_{b} (a) = n

이라고 합시다. 지수형태로 이 식을 쓰면 방정식

b^{n} = a

가 나옵니다.

이제 식은 다음과 같습니다:

\begin{aligned} b^{n} & = a \\ \log_{x} (b^{n}) & = \log_{x} (a) & 만약 Y = Z 라면 \log_{x} (Y) = \log_{x} (Z) \\ n \log_{x} (b) & = \log_{x} (a) & 멱의 법칙 \\ n & = \frac{\log_{x} (a)}{\log_{x} (b)} & 양변을 \log_{x} (b) 로 나 눕 니 다 \end{aligned}

n = \log_{b} (a)

이므로,

\log_{b} (a) = \frac{\log_{x} (a)}{\log_{x} (b)}

입니다.

심화문제

심화문제 1

1) $\frac{\log (81)}{\log (3)}$ ‍을 계산기를 사용하지 않고 계산합니다 .

심화문제 2

2) 다음 중 $\log (6) \cdot \log_{6} (a)$ ‍와 동일한 식은 무엇일까요?

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