지수의 성질을 이용하여 지수방정식 풀기 (심화)

좀 더 연습을 해봅시다 몇 개의 지수방정식을 풀어봅시다 2개의 지수방정식이 있습니다 늘 그랬듯, 동영상을 멈추고 두 식을 x에 대해 풀어봅시다 보라색 방정식부터 풀어봅시다 여러분이 처음에 주의해야 할 점은 등식에서 양변의 밑이 다르다는 것입니다 밑을 같게 하면 좋겠습니다 여기서 당신은 이렇게 생각할 겁니다 음, 32는 8의 거듭제곱이 아니고 적어도 8의 정수 승은 아니다 그러나, 두 수는 모두 2의 거듭제곱입니다 32는 2의 5승과 같으며 2의 5제곱입니다 8은 2의 3승과 같습니다 2의 3제곱입니다 제가 원래 식을 다시 쓰면 32를 쓰는 대신, 저는 이를 2의 5승으로 쓰고 이 수의 지수는 X/3이 됩니다 X/3승입니다 이와 같은 값을 갖는 우변은 8 대신 2의 3승으로 쓰고 2의 3승입니다 지수 부분은 x-12가 됩니다 x-12입니다 어떤 수의 거듭제곱을 하고 이 수만큼 거듭제곱을 하면 이는 각 지수 성분들을 곱한 것과 같습니다 좌변을 다시 쓰면 2의 5x/3 승이 됩니다 5x/3승입니다 저는 단지 지수 성분들을 곱했습니다 이와 같은 값을 갖는 수는 2의 이제 저는 3과 x-12를 곱할 것입니다 즉 2의 3x-36승입니다 식이 한결 간결해졌습니다 2의 이 지수승은 2의 저 지수승과 같습니다 즉 지수성분들은 같아야 합니다 5x/3은 3x-36과 같아야 합니다 두 값이 같다 하고 x에 대해 풀어봅시다 즉 5x/3은 3x-36과 같습니다 한번 봅시다 식의 양변에 3을 곱합니다 한번 해봅시다 식의 양변에 3을 곱하면 우리가 얻는 결론은 5x와 같은 값은 9x 빼기 이게 뭔가요? 9x-108입니다 이제 양변에서 9x를 뺍니다 그러면 다음과 같은 결과가 나옵니다 5x-9x는 -4x가 되며 이는 -108과 같습니다 이제 마지막 단계입니다 잠시만요 양변을 -4로 나눕니다 -4입니다 우리의 결론은 x가 27이라는 것입니다 x는 27입니다 우리는 해결했습니다 모두 해결했습니다 구한 x를 처음 식에 대입하면 32의 27 나누기 3 승 즉 32의 9승은 8의 27-12승과 같아야 합니다 즉 8의 15승과 같습니다 27-12인 15가 8의 지수가 됩니다 어쨌든 재미있었습니다 하나 더 해봅시다 이 식은 다른 관점에서 흥미롭습니다 이 식에는 유리식이 있습니다 지수식이 분자와 분모 모두에 있습니다 이 문제를 해결하는 열쇠는 그전에 먼저 해야할 일이 있습니다 25를 5의 거듭제곱으로 쓰겠습니다 우리는 25가 5의 제곱임을 알고 있습니다 좌변을 다시 쓰면 5의 4x+3승 나누기 25 대신 5의 제곱으로 쓰겠습니다 5의 제곱에 대해 9-x승을 합니다 9-x승입니다 물론 이 값은 5의 2x+5와 같습니다 5의 제곱 그리고 9-x승입니다 저는 지수성분들을 곱하겠습니다 이제 이 식은 5의 4x+3승 나누기 5의 2 곱하기 9는 18이고 2 곱하기 -x는 -2x이므로 같은 값을 갖는 우변은 우변은 5의 2x+5승이 됩니다 한번 봅시다 이 식을 풀 수 있는 방법은 여러 가지가 있습니다 우리는 이 식의 양변에 5의 18-2x승을 곱할 수 있습니다 식을 푸는 한 가지 방법입니다 아니면 이렇게 말할 수 있습니다 저는 5의 몇승 나누기 5의 몇승에 대해 단지 파란색 지수성분을 노란색 지수성분에서 뺐습니다 좌변을 간단히 하면 5의 4x+3 빼기 이 부분은 무채색으로 쓰겠습니다 빼기 18-2x승이 됩니다 18-2x입니다 물론, 이 값은 식의 우변인 5의 2x+5승과 같습니다 좀 더 간단히 하겠습니다 한번 봅시다 사실 이렇게 말할 수도 있습니다 펜에 문제가 생겼군요 이런 좋습니다 우리는 좌변의 지수부분이 우변의 지수부분과 같다고 할 수 있는데 밑이 같기 때문입니다 우리가 얻은 식의 좌변에서 이 부분을 풀어 쓰면 4x+3-18+2x이 됩니다 괄호 안의 항들에 -1을 곱하겠습니다 2x까지 더하면 이 값은 2x+5와 같아집니다 2x+5 말입니다 여기서 할 수 있는 것은 여러 가지가 있습니다 양변에서 2x를 빼면 식이 간단해집니다 양변에서 2x를 말입니다 또한 양변에서 5를 뺄 수 있습니다 이제 해봅시다 제가 계산해보겠습니다 양변에서 5를 뺍니다 여기서 일부 과정들을 생략하지만 제가 여기서 강조하고 싶은 것은 이런 경우 일차방정식이 편하다는 것입니다 즉 좌변은 4x가 있고 3-18-5가 더해집니다 3-18은 -15이고 5를 더 빼면 -20이므로 이 값은 0이 됩니다 그러므로 이 부분은 지워집니다 양변에 20을 더하면 4x=20이 얻어집니다 양변을 4로 나누면 x=5가 얻어집니다 해결했습니다