지수를 사용한 실생활 문제에서 시간 해석하기

박테리아로 가득찬 페트리 접시에 특별한 약을 투여하자 박테리아로 가득찬 페트리 접시에 특별한 약을 투여하자 박테리아의 수는 급속도로 감소했습니다 박테리아의 수는 급속도로 감소했습니다 경과된 시간 t(초)와 박테리아의 수 N과의 관계는 다음과 같은 함수의 형태를 나타냅니다 박테리아의 반감기를 이용해 다음 문장의 빈칸을 완성하세요 박테리아의 반감기를 이용해 다음 문장의 빈칸을 완성하세요 박테리아의 수는 ( )초 마다 반으로 줄었다 여기 있는 t의 단위는 초 입니다 자, 조금만 생각해봅시다 우선 표를 그려보겠습니다 우선 표를 그려보겠습니다 이쪽은 t 그리고 이쪽은 N(t) t에 간단한 값부터 넣어봅시다 t가 0 일때 이 부분은 어떻게 될까요 지수부분이 5.5분의 0 따라서 2분의 1의 0제곱, 즉 1이 되는군요 t가 0일 때의 N(t)는 1000입니다 t가 0일 때의 N(t)는 1000입니다 그럼 t가 0에서 얼마나 지나야 박테리아 수가 반이 될까요? t가 몇일 때 N(t)가 1000 곱하기 1/2이 되죠? 1000곱하기 1/2를 잘보면 1/2의 지수는 1입니다 따라서 1/2의 지수가 1이 되는 t의 값은 몇이죠? 이 지수부분의 값이 1이 되어야 합니다 이 부분이 1이 되는 t는 5.5입니다 이 부분이 1이 되는 t는 5.5입니다 따라서 이 때의 t 자리에 5.5를 써줍니다 그럼 같은 방법으로 이 상태에서 한번 더 5.5초가 지나면 즉, 11초가 지나면 N(t)는 1000 곱하기 1/2에 11나누기 5.5는 2이니까 N(t)는 1000 곱하기 1/2에 11나누기 5.5는 2이니까 1/2의 제곱입니다 즉, 1/2곱하기 1/2 따라서 매 5.5초가 지날때 마다 5.5초 전 박테리아 수의 절반이 되는 것을 알 수가 있습니다 5.5초 전 박테리아 수의 절반이 되는 것을 알 수가 있습니다 따라서 이 문장의 빈칸은 5.5가 되겠습니다 여기 있는 함수의 5.5라는 상수 표를 보면 이 상수가 무언가 의미하는 것 같습니다 표를 보면 이 상수가 무언가 의미하는 것 같습니다 비슷한 문제들을 조금만 더 해봅시다 화학 원소 아인슈타이늄-253은 시간이 지날수록 붕괴됩니다 우리가 측정한 아인슈타이늄-253 샘플의 초기 질량은 320그램이었습니다 우리가 측정한 아인슈타이늄-253 샘플의 초기 질량은 320그램이었습니다 경과된 시간 t(일)과 아인슈타이늄-253 샘플의 질량 M(t)와의 관계식은 이와 같은 함수의 형태로 정의됩니다 이 샘플의 질량 변화율을 이용해 다음 문장을 완성하세요 이 샘플의 질량 변화율을 이용해 다음 문장을 완성하세요 이 샘플은 ( )일이 지날때마다 질량의 87.5%만큼을 잃는다 이 샘플은 ( )일이 지날때마다 질량의 87.5%만큼을 잃는다 이 부분, 몇 %만큼 잃었는가를 다르게 말한다면 이 부분, 몇 %만큼 잃었는가를 다르게 말한다면 즉, "87.5%를 잃는다"는 "12.5%가 남았다"라고도 할 수 있습니다 "12.5%가 남았다"라고도 할 수 있습니다 다른 표현이지만 결국에 의미는 같습니다 다른 표현이지만 결국에 의미는 같습니다 따라서 이 부분을 다시 읽어보면 이 샘플이 기존 질량의 12.5%가 된다 이 샘플이 기존 질량의 12.5%가 된다 또는 이 샘플이 원래 질량의 12.5%가 되는데 얼마나 시간이 걸리는가? 또는 이 샘플이 원래 질량의 12.5%가 되는데 얼마나 시간이 걸리는가? 아까와 비슷한 방법으로 할 수 있습니다 여기에 0.125가 보이는군요 그럼 아까처럼 표를 그려봅시다 여기 있는 이 상수가 표에 등장할 것이라고 여러분들이 예상하고 있을거라 생각합니다 그럼 표를 그려봅시다 여기는 t 여기는 M(t), t가 0일때 M(t)는 320 그럼 M(t)가 320곱하기 0.125가 되는 시간은 언제일까요? 그럼 M(t)가 320곱하기 0.125가 되는 시간은 언제일까요? 320곱하기 0.125를 생각하는 이유는 320에서 320곱하기 0.125가 되는것은 질량의 87.5%를 잃는다는 의미와 같기 때문입니다 87.5%를 잃는다는 건 여기에 -87.5%이고 0.875를 잃고 0.125가 남네요 여기 있는 0.125의 지수가 1이니까 이 지수부분이 1이되는 t는 몇일까요? t가 61.4일 때입니다 t는 61.4이고 단위는 (일)입니다 빈칸은 61.4가 되겠습니다 이제 여러분들이 무언가 눈치챘을 거라 생각합니다 여기 있는 분모가 답이랑 같습니다 하지만 저는 여러분들이 이 문제를 풀어가는 과정을 혼자 생각해보길 바랍니다 여러분들이 고민하지 않고 답을 쉽게 구하려 한다면 그게 얼마나 도움이 될지는 모르겠습니다 하나만 더 해봅시다 하워드는 그의 나무에 있는 가지가 어느 속도로 늘어나는지 연구했습니다 하워드가 연구를 시작하고부터 경과된 시간 t(년)과 하워드가 연구를 시작하고부터 경과된 시간 t(년)과 가지의 수 N(t)와의 관계는 이와 같은 함수로 나타내어 집니다 가지수의 변화율을 이용해 다음 문장을 완성하세요 가지수의 변화율을 이용해 다음 문장을 완성하세요 하워드가 연구하는 나무의 가지수가 4/5만큼 더 늘어나는데 ( )년이 걸린다 따라서 4/5만큼이 늘었다는 건 무언가를 곱하는 것과 같습니다 무언가를 곱하는 것과 같습니다 여기서 중요한게 기존 상태에서 4/5를 추가로 얻었다는 것입니다 그냥 4/5라는 수를 얻었다는 것이 아닙니다 따라서 기존 상테에서 4/5를 더 얻었다는 것은 1+4/5 또는 9/5를 곱하는 것과 같습니다 1+4/5 또는 9/5를 곱하는 것과 같습니다 정리하면 4/5를 추가로 얻었다는 것은 9/5를 곱했다는 것과 같은 의미입니다 만약에 제가 5살이고 4/5만큼 나이를 더 먹었다면 저는 4살을 더 먹은 것이고 9살이 되겠죠 이것은 5살인 상태에서 9/5를 곱한 것과 같습니다 그럼 이렇게 말할 수 있겠습니다 하워드가 연구하는 나무의 가지수가 9/5배로 증가하는데 얼마나 시간이 걸리는가? 여기에 상수 9/5가 보이네요 따라서 9/5배 증가하려면 지수가 1이어야 하니까 t는 7.3이어야 겠네요 이렇게도 말할 수 있을 것 같습니다 t가 7.3만큼 증가할때마다 이 지수부분은 1씩 증가하게 되므로 N(t)는 9/5배가 되는 것입니다 따라서 이 빈칸은 7.3이 되겠습니다