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주요 내용

제곱근 방정식과 무연근이란?

살만 칸이 제곱근 방정식이 무엇인지 설명하고 그러한 방정식을 풀고 무연근인지 확인하는 예제를 살펴 봅니다. 만든이: 살만 칸 선생님, CK-12 Foundation

동영상 대본

이 강의에서, 우리는 몇 가지 경험을 해 볼 거예요 무리방정식이나 제곱근 또는 거듭제곱근을 포함한 방정식들을 풀어봅시다 또한 우리는 이러한 방정식들을 풀면서 발생하는 흥미로운 현상에 대해 이해해 볼거예요 무슨 얘기인지 여러분에게 보여줄게요 이 방정식을 살펴 봅시다 x 의 제곱근은 2x - 6 이다 우리가 살펴봐야 하는 것은 무리방정식을 풀때 마다 우리는 적어도 하나의 무리식 부분을 따로 떼어 놓게 된다는 거죠 이 방정식에는 무리식 부분이 한 개 존재 하네요 무리식 부분을 방정식의 한 변에 따로 떼어 놓을 때 이렇게 시작해 봅시다 저는 √x 를 좌변으로 보낼게요 그리고 나서 양 변에 제곱을 해 줄 거예요 그럼, 이 방정식의 양 변에 제곱을 해봅시다 다시 써 볼게요 천천히 해 보죠 좌변에 제곱을 해주고요 이것은 (2x -6)에 제곱해 준 것과 같네요 제곱을 하면 이차방정식으로 더 쉽게 답을 구할 수 있겠죠 여기 좌변과 우변이 같다면 좌변에 제곱을 한 것도 우변에 제곱 한 것과 같겠죠 계속 해 보죠 √x 에 제곱을 해 주면 x 가 되죠 이 x 는 우변을 제곱한 것과 같겠죠 우변을 보면 2x 를 제곱하면 4x제곱 이네요 2x 전체를 제곱 해 준거네요 4x 가 나왔고, 이 두 개를 곱해 줍니다 그러면 -12x 가 나오네요 그리고 -12x 에 두배 하면 -24x 가 나오네요 -6 을 제곱하면 +36 이고요 이 과정이 어렵다면 다음 강의들을 다시 봐주세요 다항식의 곱셈이나 이항식의 곱셈 또는 특별한 경우의 이항식의 거듭제곱에 관한 강의요 일반적으로 봤을 때 , 2x 를 제곱 하면 4x제곱이 되겠죠 그리고 나서 이 두 값(2x , 6)을 곱한 값에 -2 를 곱해야 합니다 이 두 항을 곱하면 -12x 죠 그리고 2를 곱하면 -24x 가 되고 이 항을 제곱하면 이렇게 되죠 따라서 이 무리방정식이 간단히 정리가 되었네요 그리고 만약 이 방정식의 양 변에서 x 를 각각 빼보면 어떻게 될까요? 만약 양 변에서 x 를 빼게 되면 좌변은 0 이 되고 우변은 4x제곱 -25x +36 이 되네요 따라서, 무리방정식이 일반적인 이차방정식으로 간단히 정리 됐네요 간단히 정리하기 위해서 인수분해나 항을 묶는 방식을 사용하는 것에 대해 걱정하지 마세요 여기서는 근의 공식을 사용해 볼거예요 근의 공식으로 이 식의 근을 구할 수 있습니다 x 는 --- -b b가 -25 네요 따라서 - (-25) 는 +25 그리고 ± √25제곱 25 를 제곱하면 625, 빼기 4 에 a 인 4를 곱하고 c 인 36을 곱하고 이를 2 곱하기 4인 8로 나눕니다 계산기를 이용해 계산해 보죠 여기있네요 625 빼기에 --- 자 봅시다 여기에 16 곱하기 36 을 입력하고 16 곱하기 36 까지 넣고 계산하면 49 가 나오네요 좋습니다! 완벽한 제곱수네요 √49 가 얼마인지 알고 있죠?! 7 입니다! 다시 문제로 돌아와서 여기는 간단히 49 로 정리되고 x 는 25 ± √49 는 7 이 되고, 이 모두를 8로 나누면 여기서 서로 다른 두 근이 나오는데요, 만약 7 을 더한다면, x 는 25 더하기 7 이고 이는 32 네요, 32 를 8로 나누면 4가 되죠 또 다른 방법으로 해보죠 다른 색으로 바꿔볼게요 x 는 25 빼기 7 이고, 18 나누기 8 을 해보면 8 을 18 로 나누면 몫이 2, 나머지가 2 그래서 2와 2/8 또는 2와 1/4 또는 2.25 가 되겠네요 그리고 지금 여기서 발생한 흥미로운 현상을 보여줄게요 이 수수께끼를 본 후 이것을 잠시 멈추고 싶을 수 있어요 비록 제가 여러분에게 이런 수수께끼가 왜 튀어나왔는지 말해 주겠지만요 우리가 구한 답이 실제로 적용되는지 살펴볼까요? x 는 4 부터 시도해 봅시다 x 에 4를 넣었을때, 제곱근 4 의 값과 2 곱하기 4 빼기 6 의 값이 같아야만 합니다 제곱근 4는 +2 죠 +2 는 2 곱하기 4 는 8, 빼기 6 한 값과 같아야 합니다 계산해보면 맞네요 4 는 잘 적용 됐네요 그럼 2.25 를 넣어봅시다 이 식에 따르면, 우리가 루트를 취하면 √ 2.2 ........ 근호를 조금 더 크게 만들어야 겠습니다 √2.25 는 2 곱하기 2.25 빼기 6 과 같아야 합니다 암산으로 여러분이 이것을 할 수도 못할 수도 있겠네요 여러분이 √225 가 15 라는 것을 알 수도 있겠네요 이런 사실로, 알아 냈을 수도 있겠습니다 √2.25 가 1.5 라는 것을요! 증명하기 위해서 계산기로 계산해 볼게요 2.25 에 루트를 씌우면 1.5 네요 루트값이 1.5 네요 또 다른 제곱근으로 -1.5 가 있을 수 있죠 이건 1.5 입니다 이 식에 따르면, 이 값은 2 곱하기 2.25 는 4.5 이고, 빼기 6을 한 값이 같아야죠 맞을까요? 이 식은 1.5 와 -1.5가 같다고 나오네요 틀린거죠! 2.25 는 이 무리방정식에 적용되지 않네요 우리는 이런 근을 무연근이라고 합니다 그러니까 2.25 가 무연근이죠 여기서 수수께끼 나갑니다! 왜 2.25 가 정답으로 구해진거죠? 우리는 논리적으로 타당하게 문제를 풀어서 이차식을 얻었고 2.25 란 답을 구했습니다 여기에 힌트가 있네요 2.25 로 치환했을때 우리가 얻은 1.5 는 - 1.5 와 같다고 나오네요 그러니까 우리가 구한 근의 값이 이 무리방정식에 대입했을때 적용되지 않는거죠 제가 또 다른 힌트를 줄게요 이 단계를 살펴봅시다 이 단계를 보면, 두 답이 잘 적용되고 있습니다 괜찮다면 한번 계산해 보세요 남는 시간에 실제로 계산해 보세요 여기 x 에 2.25를 대입해 보죠 항등식이 성립되고 있는게 보이죠 4 도 대입해 보죠 두 답 모두 항등식이 성립되는게 보입니다 그러면 두 값 모두 이 식에선 타당한 값이네요 우리가 제곱을 하면서 어떤 일이 발생하여 이 방정식에 조금의 변화가 생겼습니다 이 방정식에 조금의 변화가 있습니다 저 방정식과 비교해서요 답을 구하기 위해서 두가지 방식을 생각해 봐야 합니다 이 방정식에서 저 방정식으로 돌아가면 제곱근이 나오죠 더 세심하게 살펴보자면 주제곱근(양의 제곱근) 이네요 음의 제곱근도 물론 구할 수 있죠 하지만 여기서는 오직 주제곱근만을 취합니다 이걸 여기다 적어 볼께요 --- 명확하게 해보죠 우리는 이미 근과 무연근을 무리방정식을 통해 얻었고 이 두 값이 여기에만 만족한다는 것을 알고있죠 그리고 오직 타당한근만 원래 문제에 만족하고요 그러면 제가 이 두 값을 만족하는 방정식을 써보죠 이거 정말 흥미로운 수수께끼 거든요! 이를 통해 미묘한 차이나 우리가 주제곱근을 취할때 일어나는 일들에 대해 알려줄게요 그리고 양변에 제곱을 할 때 어느정도 정보를 얻거나 잃을 수 있다는 것을 고려해야 합니다 x 는 (2x - 6)의 제곱과 같네요 값이 하나 나오네요 이 방정식에서는 이 방정식에 대해서 완벽하게 논리적으로 설명해 볼게요 이 식은 x는 -1 곱하기 2x - 6의 제곱이다와 같을 수 있죠 그럼 왜 이 두 식이 같죠? 왜냐하면 -1을 제곱하면 -1은 사라지기 때문이죠 그래서 똑같은 식이 되는 거죠 다른 방식으로도 써볼게요 x 는 ---- 여기에 -1을 곱해 보죠 그럼 -2x +6 이니까 (6 -2x) 제곱으로 정리할 수 있네요 이 두식은 이 식을 표현하는 두가지 방식이네요 그리고 우리가 루트를 씌우면 두 가지 방식을 생각해 볼 수 있겠네요 우리가 이 식의 양변을 제곱했을때 오직 이 식만 나온다고 가정했지만 다른 식으로도 표현 가능하단걸 봤죠 이 식으로부터 두가지 근을 얻었지만 오직 4 만 만족했죠 이 값은 여기서 나온겁니다 제가 설명한 것을 이해했길 바래요 우리는 오직 양의 제곱근 만을 취할 거예요 우리는 음의 제곱근을 고려하지 않을 거예요 왜냐하면 양 변에 루트를 씌우면 오직 양의 제곱근만 얻거든요 다른 방식으로도 살펴보죠--- 다시 써보죠 원래 방정식을요 √x는 2x -6 이다 답은 4 고요 2.25는 답이 아닙니다 그런데 2.25도 답이 될 수 있습니다 ±√x 가 2x - 6 과 같을때는요 여기에 값을 대입하면 2.25 도 타당한 값이 됩니다 -√2.25 는 2 × 2.25, 4.5 죠 여기에 빼기 6 하면 -1.5 네요 맞는 답이죠! 양의 제곱근일때 x 는 4 죠 그래서 두 가지 근을 얻었던 겁니다 여기에 제곱을 하면 --- 이렇게 하면 더 쉽게 기억하겠죠 여기에 제곱을 하면 이 이차방정시를 얻게 되죠 두 값 모두 타당한 방정식이죠 여러분이 조금 아니면 전부 헷갈릴 수 있어요 저의 의도는 여러분들을 혼란스럽게 하는게 아니라 간단하게 생각하세요 무리방정식을 풀때 보세요... 루트 따로 떼어내고 제곱하고 계속 문제 푸시면 되요 그리고 나서 여러분이 하나 이상의 답을 얻으면 답을 대입해 보세요 답이 성립하지 않으면, 그 값은 무연근입니다 이 강의는 왜 무연근이 나오게 되는지에 대해 설명하는 강의예요 바라건대 여러분이 방정식에는 +√x가 나온다는 것에 대한 직관력을 가졌으면 해요 무연근도 성립할 때가 있죠 ±√x 일때요! +√x 일때 말고요