역함수 찾기: 유리식

함수 g(x)가 x+3분의 2x-1이라고 합시다 영상을 잠시 멈추고 g의 역함수를 찾아보세요 g의 역함수는 무엇일까요? 여러분 모두 해보셨죠? 예전에 배웠던 것을 상기시켜 보면 어떤 함수와 그 역함수에 대해 이야기할 때는 함수에 대입하는 값들의 집합인 정의역이 있고 함수값 전체의 집합인 치역이 있습니다 정의역의 한 원소인 x를 함수 g에 대입하게 되면 치역의 원소 중 하나로 대응될 것입니다 정의역의 원소 x는 g(x)라는 값에 대응됩니다 이것이 바로 함수 g의 역할입니다 역함수는 반대 방향으로 가는 함수입니다 치역의 한 원소가 반대로 정의역의 원소로 대응되는 것이 바로 g의 역함수입니다 생각해봅시다 y가 g(x)라고 해보죠 그럼 이 점을 y라고 부를 수 있습니다 이 표현이 의미하는 것은 x가 있다고 해봅시다 x에 2를 곱하고 1을 뺀 후에 x+3으로 나누면 그 값이 g(x), 즉 y가 된다는 것입니다 만약 우리가 y, 즉 g(x) 값을 알고 있다면 x는 어떻게 구할 수 있을까요? 그냥 x에 대한 방정식을 풀면 됩니다 그럼 한 번 해봅시다 y가 2x-1을 x+3으로 나눈 값이라면 우리가 알고 있는 y값으로 대응되는 x값을 어떻게 구할 수 있을까요? 먼저 양변에 x+3을 곱합니다 좌변은 y 곱하기 x+3이 됩니다 우변은 2x-1이 되죠 지금 제가 한 것은 좌변에 x+3을 곱했고 우변에도 똑같이 x+3을 곱해준 것입니다 x+3은 분모의 x+3과 함께 소거됩니다 이제 뭘 할 수 있을까요? 좌변에서 분배법칙을 써 봅시다 그러면 좌변은 yx+3y가 되고 우변은 2x-1 이 됩니다 x에 대한 방정식을 풀고 있다는 걸 기억하세요 x가 들어있는 항들을 한쪽으로 정리하고 나머지는 반대쪽으로 정리해 봅시다 x항들은 좌변으로 이항하고 나머지는 우변으로 이항합니다 이 항은 x에 대한 항이 아니므로 좌변에서 없애봅시다 좌변에서 3y를 빼고 우변에서도 빼줍니다 우변에서 2x를 이항시키려면 2x를 빼고 좌변에서도 2x를 빼줍니다 그럼 우리는 이런 식을 얻게 됩니다 이 부분은 (y-2)x가 됩니다 이 항은 우리가 원했던 대로 소거되겠죠 이 항도 소거됩니다 남은 부분은 1-3y가 됩니다 x를 구하기 위해서는 양변을 y-2로 나누어 주기만 하면 됩니다 그럼 x가 1-3y를 y-2로 나눈 값이라는 것을 알 수 있습니다 이것을 이해하는 한 가지 방법은 여러분은 x가 y에 대해 표현된 함수라고 생각할 수 있습니다 치역의 한 원소인 y를 이 함수에 대입하면 y에 대응되는 x를 구할 수 있다는 것입니다 그런데 우리는 g-1(y)를 구하려던 것이 아니라 g-1(x)를 구하고 있었습니다 우리가 꼭 알아야 할 것은 우리가 함수 식에서 사용하는 이런 변수들은 임의로 결정될 수 있다는 것입니다 만약 대입하는 값을 y라고 하면 함수값은 이렇게 표현됩니다 y 대신에 a를 사용하면 함수값은 a-2분의 1-3a가 된다는 것입니다 우리가 구한 것은 g-1(y)입니다 g의 역함수는 우리가 구한 식을 다시 써봅시다 g-1(y)는 1-3y를 y-2로 나눈 값입니다 이 변수는 임의로 선택할 수 있습니다 즉, y를 이런 기호로 바꾸면 함수는 이렇게 표현된다는 것입니다 대입하는 값을 x라고 한다면 g-1(x)는 이렇게 표현됩니다 x-2분의 1-3x 여기서 짚고 넘어가야 할 것은 이 과정이 헷갈릴 수도 있습니다 왜냐하면 보통 함수에 대입하는 값을 x라고 하고 y를 함수값이라고 하기 때문이죠 하지만 여러분이 꼭 알아야 할 것은 이 변수들은 우리가 쉽게 알아보기 위해 붙여준 이름일 뿐이라는 것입니다 이것들은 함수에 대입하는 값들입니다 따라서 우리가 이 역함수에 대입하는 값에 x나 이런 기호, y, a, b, c, d 등 어떤 변수를 사용해도 된다는 것입니다 우리가 구하고 싶은 것은 g-1(x)이므로 대입하는 값을 x라고 하면 이 식은 역함수를 나타낸다는 것이죠 또다른 방법을 소개해보겠습니다 y가 g-1(x)라고 한다면 x와 y의 자리를 바꾼 것이죠 두 번째 방법에서는 역함수를 구하는 맨 첫 과정에서 x와 y의 자리를 바꾸는 것입니다 우리가 맨 마지막에 자리를 바꾼 것처럼요 자리를 바꾼 후에 y를 구해보면 아마 같은 식이 나올 것입니다 두 가지 방법 모두 시도해보길 바랍니다