유리식이 있는 방정식 (예제 2)

유리식의 형태로 표현된 방정식이 있습니다 잠시 동영상을 멈추고 직접 풀어보세요 방정식의 해를 구해봅시다 좋아요 같이 풀어보도록 하죠 문제에 나와있는 것처럼 분모에 식을 두는 것이 익숙하지 않군요 따라서 좌변에 있는 분모인 x-1 을 제거하겠습니다 양변에 (x-1)을 곱해주면 (x-1)을 각각 곱해줍니다 이렇게 곱해주는 이유는 분모에 있는 (x-1)을 없애기 위한 것임을 기억하세요 마찬가지로 우변에 있는 분모를 제거하기 위해서 양변에 (x+1)을 곱해줍시다 (x+1)을 각각 곱해줍시다 식을 정리해봅시다 좌변에서는 (x-1)이 약분되어 1이 되고 x는 1과 같지 않도록 정의됩니다 남은 식을 정리해주면 (x+1)(-2x+4) 가 됩니다 정리된 식을 다시 쓰겠습니다 좌변은 지우고 다시 쓰겠습니다 나중을 위해 밑에 공간을 남겨놓게요 좌변을 계산해주면 (x+1)(-2x+4) 좌변과 같게 될 우변으로 넘어가볼게요 이 두항을 한꺼번에 3/(x+1) 에 곱해볼게요 (x+1)은 약분될 것이고 3(x-1)이 남습니다 그럼 3x-3 가 될 것이고 여기에 이 둘의 곱을 빼줘야 합니다 (x-1)(x+1)을 말입니다 이어서 써주면 -1*(x-1)(x+1) 방금 쓴 것은 앞의 두 항에 (x-1)(x+1)을 곱한 것입니다 첫 항과 곱했을땐 (x+1)이 약분되어 3(x-1)이 나오고 두 번째 항과 두 항을 모두 곱했습니다 마저 계산을 합시다 (x+1)과 (x-1)을 곱하면 x^2-1 이 됩니다 방금 암산한 것을 원래 식을 지우고 써넣겠습니다 x^2-1 다시 한번, 이 식이 x^2-1 이 되기 때문입니다 x^2-1 을 빼는 것을 괄호로 묶어 표현한 것은 한 단계에 너무 많은 과정을 생략하기를 원치 않았기 때문입니다 다음 단계로 넘어갑시다 이 곱셈을 전개해봅시다 x와 -2x를 곱하면 -4x^2 입니다 x와 4를 곱하면 +4x 입니다 1과 -2x를 곱하면 -2x 입니다 1과 4를 곱하면 4가 됩니다 좌변과 같을 우변으로 넘어가봅시다 3x-3 에 빼줄것은 -1을 각 항에 분배하면 -x^2+1 입니다 동류항을 묶어 마저 계산해줍시다 좌변에서는 4x-2x 를 한꺼번에 아래에 바로 쓸게요 4x-2x 를 2x로 바로 표현해줄 수 있습니다 우변도 더 간단하게 만들어주면 -3과 +1이 있으므로 계산해주면 -2가 됩니다 정리된 결과를 흰색으로 다시 쓰겠습니다 좌변 -2x^2+2x+4 는 우변 -x^2+3x-2 와 같습니다 이제 우변을 모두 이항시켜 계산하겠습니다 우변을 좌변으로 모두 넘겨주세요 다르게 표현하자면 양변에 x^2을 모두 더해주어 우변의 -x^2을 없애고 양변에 -3x를 해주어 우변의 +3x를 없애고 양변에 2를 더하여 우변의 -2를 없애줍니다 모두 계산해주면 -2x^2+x^2 은 -x^2 이 됩니다 2x-3x=-x 이고 4+2=6 입니다 우변은 모두 소거되어 0이 됩니다 x^2에 -1이 붙어있는 것이 좋지 않으므로 양변에 -1을 곱해줍시다 그렇게 한다면 즉 양변에 모두 -를 붙여주면 양변에 모두 -1을 곱해주었습니다 정리해주면 x^2+x-6=0 이 나옵니다 잘 하고 있습니다 이번엔 이 식을 인수분해합니다 이전에 썼던 것을 안 지우려고 이제부턴 오른편에 쓸게요 인수분해를 하기 위해 알아봅시다 어떤 두 수를 곱하면 -6이 될까요? 곱이 음수인 것을 보니 두 수의 부호가 다르군요 두 수를 더하면 1차항의 계수인 1이 됩니다 3과 -2 입니다 따라서 다시 쓰면 (x+3)(x-2)=0 입니다 맞게 썼지요? 3과 -2를 곱하면 -6이고 3x-2x=x 입니다 이차식을 인수분해해서 표현한 것입니다 두 식의 곱이 0과 같다면 둘 중 적어도 하나는 0과 같습니다 x+3=0 이거나 x-2=0 입니다 이를 풀기 위해서는 양변에서 같은 수를 소거해야 합니다 따라서 x=-3 또는 이번엔 양변에 2를 더해서 x=2 입니다 둘 모두 해가 될 것 같지만 주의해야 할 점이 있습니다 앞서 구한 해가 원래 식에서 정의되지 않는 값이면 안 되기 때문입니다 -3은 양 변의 분모 모두 0으로 만들지 않으므로 괜찮습니다 +2 역시 분모를 0으로 만들지 않습니다 좋습니다 방정식의 해가 두 개 있습니다 만약 둘 중 하나가 원래 식의 분모를 0으로 만든다면 그 해는 무연근이라고 합니다 무연근은 중간 과정에서 나온 식의 해가 될 수는 있지만 원래 식의 해가 아닙니다 하지만, 이 문제의 두 해는 어떤 분모도 0으로 만들지 않습니다