연립이차방정식: 해가 없음

어떤 방법을 사용하여서던지 연립방정식을 풀어라 y = 2(x-4)^2 + 3이라는 식과 y = -x^2 + 2x -2라는 식이 있네요 연립방정식의 근은 하나이거나 없거나 두 개일 수 도 있지만 어떤 경우던 이 연립방정식의 두 식에서 모두에서 같은 y값을 얻는 x일 때 근이 생깁니다 이 식들을 모두 만족하는 (x, y)가 있을 겁니다 그런 x값의 경우 y값도 같게 되니 결국 윗식의 y값과 아랫식의 y값이 같을 때가 됩니다 그러니 근은 아랫식의 -x^2 + 2x - 2의 값이 윗식의 2(x-4)^2 + 3과 같을 때 생깁니다 x에 대해서 풀어보도록 합시다 우선 우변에 있는 2(x-4)^2를 계산해 봅시다 우변의 2(x-4)^2은 2(x^2 - 8x +16)이 됩니다 즉, 정리하자면 우변은 2x^2 - 16x + 32 + 3인 2x^2 - 16x + 35가 됩니다 계산한 우변은 당연히 좌변인 -x^2 + 2x -2와 같게 되겠지요 이제 좌변을 통째로 소거해 봅시다 우선 좌변의 x^2항을 없애기 위해 양변에 x^2을 더해봅시다 또 x항을 없애기 위해 양변에서 2x를 뺍시다 그리고 마지막으로 양변에 2를 더합시다 그러면 좌변은 모든 항이 소거되니 0과 같아집니다 이제 우변을 계산해보면 x^2 + 2x^2 = 3x^2이고 -16x -2x = -18x이고 35 + 2 =37이니 결국 0 = 3x^2 - 18x + 37이라는 2차 방정식을 얻습니다 근의 공식을 이용하여 근을 구해봅시다 식에서 b = -18이고 a = 3, c = 37이니 근의 공식에 대입하면 x = 18 +/- 루트(18^2 - 4*3(37)) / 6이 됩니다 그럼 이제 계산 해 볼까요 계산기를 이용해 봅시다 18^2 - 4 * 3 (37) 계산하면 -120이니 결국 18 +/ 루트(-120)이네요 루트 안이 음수 된 이유는 4*3이 12니까 12*37이 18^2보다 커서 겠네요 봤을 때 명백하지는 않지만 직관적으로는 그렇지요 어찌되었건 루트 안의 값이 음수가 되었습니다 실수만 고려한다면 루트 (-120)같은 숫자는 없습니다 그러니 이 식의 근은 없습니다 답은 "근이 없다"네요 원한다면 판별식을 써봐도 좋습니다 루트안의 부분인 b^2 - 4ac가 판별식이니 판별식의 값이 음수네요 그러니 근이 존재하지 않고 두 그래프는 절대로 만나지 못할겁니다 이 연립방정식의 근은 없습니다 x값을 대입하였을 때 두 식 모두에서 같은 y값을 가지는 경우가 없다는 말입니다 왜 이렇게 되었는지 생각해봅시다 윗식은 이미 정리되어 있으니 식을 보면 아래로 볼록한 포물선이고 개략적으로 그려보자면 우선 좌표축을 그릴까요 이 직선이 y축이고 이 직선이 x축입니다 이 포물선의 꼭짓점은 x = 4이고 y = 3일 때입니다 그러니 (4, 3)이 꼭짓점이죠 x^2항 앞의 계수가 양수이니 아래로 볼록한 포물선입니다 그러니 대략적으로 이런 그래프가 됩니다 정확하지는 않지만 이런 모양일 겁니다 아랫식은 어떻게 그려질까요 일단 이 식은 위로 볼록한 포물선이고 꼭짓점은 식을 변형하여 구합시다 그럼 아랫식을 변형하여 봅시다 y = - (x^2 -2x + 2)입니다 2를 조금 떨어뜨려 다시 쓸게요 -2의 절반은 -1입니다 제곱식의 형태를 만들기 위해 +1과 -1을 더해주고 앞 부분의 이 항들은 (x-1)^2으로 쓸 수 있으니 정리하면 -((x-1)^2 -1 + 2)가 되고 결국 -((x-1)^2 +1)이 됩니다 이건 괄호를 제거하면 y = -(x-1)^2 -1이 되네요 이 변형된 식을 보면 꼭짓점은 x = 1이고 y= -1일 때 이네요 (1, -1)이 꼭짓점이되고 x^2항의 계수가 음수이므로 위로 볼록한 포물선이 되고 개략적으로 그리면 이런 모양이 됩니다 보시다시피 전혀 만나지 않습니다 위의 그래프의 꼭짓점은 최소점에 해당하고 아래의 그래프의 꼭짓점은 최대점에 해당합니다 그런데 위 그래프의 최소점이 아래 그래프의 최대점 위에 있습니다 그러니 절대로 만날 수 없고 그래서 연립방정식 또한 근을 가지지 않습니다