무리식의 무연근 (예제 2)

d의 값을 알아보는 문제입니다 이 방정식에서 d를 볼 수 있는데 x가 무연근으로 -3의 값을 가져야 합니다 이 무리방정식은 루트 3x + 25 = d + 2x 입니다 영상을 멈추고 문제를 같이 해결하기 전에 생각해 봅시다 좋아요, 이제 문제를 같이 해결해 봅시다 우리가 가장 먼저 생각해봐야 할 것은 무연근이 무엇인가 입니다 뭐 그것은 우리가 얻은 해지만 사실 우리가 풀어야 할 식의 부산물입니다 하지만 그 해는 원래 식의 해가 아닙니다 그럼 이 무연근을 어떻게 구할 수 있을까요? 그건 우리가 양변을 제곱하면 됩니다 여기 있는 근호를 없애기 위해 양변을 제곱할 겁니다 양변을 제곱하면, 좌변은 3x + 25가 되고, 우변을 제곱하면 어떻게 될까요? d제곱 + 4dx + 4x제곱이 될 겁니다 이 식은 그저 위의 식을 제곱한 겁니다 하지만 보세요, 사실 이건 다른 식이고 아래 식에 루트를 씌우면 위의 식을 얻게 됩니다 다른 식은 무엇일까요? 다른 식은 위의 식에서 한 변에 - 를 붙여준 식입니다 예를 들어보자면 - 루트 (3x+25) = d +2x 라는 식에서 출발해 보면 이 식의 양변을 제곱해 보면 여러분이 음수를 제곱했기 때문에 양수를 얻을 수 있습니다 그래서 위의 두 식 모두 여러분이 제곱하면 아래 식을 얻을 수 있습니다 그리고 여러분이 보라색 식을 풀 때 우변에는 제곱이 있습니다 그저 조금 바꿔주면 됩니다 일반적인 제곱 식으로 바꾸면 두 개의 해를 얻을 수 있습니다 돌아가서, 이 식에서 한 가지 해는 노란색 식의 해가 되고, 다른 해는 보라색 식의 해가 됩니다 그리고 왼쪽의 보라색 식을 만족하는 해는 노란색 식에서 무연근이 될 것입니다 말하자면 노란색 식에서는 해가 될 수 없다는 것입니다 원래 문제는 'd 가 어떤 값을 가져야 x가 노란색 식에서 무연근으로 -3을 가질까' 라고 볼 수 있는데 다르게 말하자면 'd가 어떤 값을 가져야 왼쪽 식의 근이 x=-3이 될까?' 로 말할 수 있습니다 읜쪽 식의 근은 위의 두 식이 아래쪽 식을 만들기 때문에 원래 식의 무연근이 됩니다 다른 근을 구하려면 한 변에 -를 붙여주면 된다는 것이죠 여러분이 양변에 -를 붙여주면 양변에 다시 음수를 곱해주면 되기 때문에 다시 원래 식으로 돌아가게 됩니다 그래서 여기서의 해는 좌변에 음수를 곱해주는 대신 우변에 음수를 곱해주면 구할 수 있습니다 어쨌든, d에 어떤 값이 들어가야 x가 -3을 해로 가질지 생각해 봅시다 여기서 x를 -3으로 바꿔주고 d를 구해야 합니다 x가 -3이 되면, 이 근호도 음수가 되고 루트 3곱하기 -3은 -9이고, 25를 더하면 d와 같습니다 2곱하기 -3은 -6입니다 그래서 d-6이 되고, 우리는 양변을 제곱해야 되는데 이렇게 해 봅시다 양변을 제곱하면 정보들을 잃어버릴 수도 있어서 제곱을 하지 않습니다 -9+25는 16이기 때문에 -루트 16은 d-6이 됩니다 그리고 좌변은 -4가 됩니다 루트 16은 4입니다 앞에 -가 붙고 d-6이 되고, 양변에 6을 더해줍니다 여러분은 2=d라는 결과를 얻을 수 있습니다 여기서 d=2가 되고 d=2라면 오른쪽 보라색 식의 해는 x=-3의 근을 가질 것입니다 그리고 그것은 무연근이 됩니다 만약 x=3이 이 식을 만족한다면 그 해는 이 식도 만족할 것입니다 하지만 여기서 성립하지 않죠 그리고 여러분은 만약 d가 2라면 x가 -3이 되는지 확인해 보세요 여러분은 아마 좌변에서 16을 얻을 수 있고, 우변에서는 여러분은 2 - 6 즉 -4 를 얻을 수 있습니다 2 - 6은 -4 이므로 이것은 성립하지 않습니다 x=3은 이 식의 해가 아니지만 왼쪽 식의 해가 되고, 아래쪽 제곱 식의 해가 됩니다 그래서 d=2 는 x=3 을 도출해내는데 그것은 이 식에서 무연근이 됩니다