허수란?

이 동영상에서저는 여러분께 i라는 수를 소개시켜주고자 해요 이 수는 때론 허수라고 불리기도 해요 여기에서 여러분이 알게 될 개념은 약간 어려울 수도 있지만, 이 수를 완전히 이해하기 위해서는, 이 수는 수학에서 배우는 다른 수들보다 훨씬 더 신기한 수라는 걸 알아야 돼요 파이나 자연계수보다 더 이상한 이유는 이 수는 실질적인 값이 우리가 숫자를 정의하는 개념 아래에서는 존재하지 않기 때문이에요 "i" 는 제곱을 하여 - 1 이 나오는 수와 동일하다고 정의되어 있어요 이것이 i의 정의고, 여러가지 재밌는 사실들로 유도 돼요 자 이제 다른 곳에서는 i 가 이렇게 정의되는 것도 볼 수 있을거에요 'i'는 -1의 제곱근과 동일하다고 정의되기도 해요 이것은 잘못된 게 아니에요. 아마 바로 이해될 거에요 무엇을 제곱한게 -1 이라면, 그럼 아마 그 수는 -1의 제곱근일 거에요 그리고 이 두가지가 거의 동일한 말로 들릴 수 있는데 저는 여러분이 이것을 정의할 때 조심했으면 좋겠어요 왜냐하면 어떤 사람들은 이게 틀렸다고 하기 때문이에요 그리고 나중에 이 사람들이 틀리게 되는 거죠 하지만, 이걸 하는 과정에서 여러분은 이것의 의미에 대해서 조심해야 돼요 음수의 제곱근을 가지고, 이것을 허수로 정의하는 것은 나중에 복소수를 배울 때 자세하게 나올거에요 하지만 지금 여러분이 이것을 이해할때 두가지를 다르게 생각하지 않아도 되고 이 두가지 정의에 대해서 혼돈할 필요가 없어요 자 이 정의를 가지고, i 의 몇 제곱의 값이 어떻게 나올지 생각해봐요 왜냐하면 이 수의 제곱이 -1 이라는 것을 고려해보면 여러 수의 제곱에 수를 곱하면, 이상한 값을 다 줄 수도 있잖아요 그리고 i의 몇 제곱 수들의 결과는 나름 괜찮은게 이 수들은 특정 값을 가지고 싸이클을 돌기 때문이에요 i의 0승으로 시작해봐요 모든 수의 0승은 1이에요 그래서 i의 0승은 1이고 이것은 참이에요 더불어서 이것을 정의에서 추론도 할 수 있어요 하지만 너무 뻔해요. 어떤 수의 0승은, i를 포함해서, 무조건 1이에요 그럼 i의 1승으로 넘어가봐요 어떤 수의 1승은 그 수 그대로 나오니까 i의 1승은 i 그대로 나올꺼에요 계수의 정의가 그렇게 나오기 때문에 확실하게 논리가 적용된다 볼 수 있어요 그럼 i의 제곱을 봐요 i의 2승은, 정의에 의하여 -1이라는 값이 나와요 i 의 3승을 해봐요. 이건 다른 색깔 펜으로요 i의 3승은 i와 i의 제곱을 곱한 거겠죠 그리고 우리는 i의 2승이 -1이라는 것을 알기에 -1 곱하기 i 가 나와요 이것과 똑같은 거에요, 그리고 그것이 이것과 일치해요 i의 제곱은 -1이에요 곱셈을 해보면, -1곱하기 i는 -i가 돼요 그럼 i의 4승은 다음과 같아요 i의 4승이죠 이건 그럼 i를 i의 3승에 곱한게 되는 거죠 i를 i의 3승에 곱한것이요 i의 3승은 뭐였죠? -i 였어요 이건 -i에요. 그럼 i를 i와 곱하면 -1이 나올테고 이미 -부호가 있기때문에 마지막 값은 1이 나와요 한번 써봐요. 똑같은 방식으로 i 곱하기 i는 -1이 나오고, 곱셈은 결합이 되기 때문에 배열을 바꾸는 것과는 아무 상관이 없어요 이건 -1을 -i의 제곱에 곱하는 거죠 i곱하기 i는 -1이에요 -1곱하기 -1은 1이죠 그러면 i의 4승은 i의 0승과 동일하겠네요 그럼 i의 5승을 봐요 i의 5승이요. 그럼 그냥 i를 i 의 4승에 곱한거네요. i의 4승은 우리가 알다시피 1이에요 그럼 1곱하기 i이 결국은 다시 i가 된다는 거죠 결국 또 i의 1승과 동일 하다는 거에요 이 패턴이 유지되는지 한번 봐요 i의 7승을 한번 봐요 아니 i의 6승이요 그건 i를 i의 5승에 곱한거네요 i의 5승은 그저 i라고 정의내렸고 그럼 i곱하기 i이네요. 정의에 의하면, i곱하기 i는 -1이에요 그럼 마무리를 지어봐요. 이렇게 계속 하다 보면 제곱수를 올리면서 곱할 수 있어요 그럼 다시 싸이클 원래대로 계속 진행되는 것을 볼 수 있을거에요 다음 동영상에서는 독단적으로 큰 i의 제곱수를 적용할건데, 여러분이 그 결과는 한번 생각해봐요 하지만 이 패턴이 유지되는것은 증명은 해봐요. i의 7승은 i를 i의 6승에 곱한거에요 i의 6승은 -1이에요. i 곱하기 -1 은 -i이죠 i를 8승하면, 다시 1이 되고, 계속 이런 식으로 갈 거에요