허수단위의 거듭제곱

앞에서 보았듯이 i를 거듭제곱하다 보면 그 값이 1,i,-1, -i 그리고 다시 1,i,-1, -i로 돌아오는 것을 볼 수 있습니다 자, 이제는 더 어려운 문제들을 풀 수 있는지 알아봅시다 이제부터 풀 문제들이 재미있는 이유는 i의 거듭제곱의 값들이 이 수들 사이에서 순환한다는 사실을 이용하여 임의의 아주 큰 수들을 제곱하는 문제들도 간단하게 풀 수 있기 때문이에요 자, 그러면 재미로 i의 100제곱은 무엇인지 알아봅시다 여기서 100은 4의 배수라는 것을 이용해야합니다 i의 100제곱은 i의 4x25제곱이며 지수법칙에 의해 이는 i의 4제곱의 25제곱이 됩니다 어떤 수의 몇 제곱을 다시 몇 제곱한 값은 두 지수를 곱한 값만큼 제곱하는 것과 같습니다 우리는 이미 i의 4제곱을 알고 있습니다 i의 4제곱은 그냥 1입니다 즉 이 문제는 1의 25제곱과 같게 되므로 1입니다 이 문제에서도 봤듯이 i의 거듭제곱의 값들이 일정한 규칙을 가지고 순환한다는 사실을 이용해 i에 커다란 수들을 제곱할 수 있게 됩니다 이번에는 조금 더 특이한 숫자들을 시도해 봅시다 i의 501제곱은 무엇일까요? 이 문제에서 501은 4의 배수가 아니기 때문에 앞에서 했던 것처럼 간단하게 값이 나오지는 않습니다 하지만 두 수의 곱으로 나타내면 됩니다-- 하나는 지수가 4의 배수인 i의 거듭제곱이고 하나는 지수가 4의 배수가 아닌 i의 거듭제곱이지요 다시 써 보면 500은 4의 배수이므로 주어진 수를 i의 500제곱과 i의 1제곱의 곱으로 나타낼 수 있어요 밑이 같은 수를 곱할 때에는 지수끼리 더해 주므로 두 수를 곱해 주면 i의 501제곱이 되겠지요 i의 500제곱은 i의 4제곱의 4 곱하기 125가 500이므로 i의 500제곱은 i의 4제곱의 125제곱이고 거기에 다시 i의 1제곱을 곱해 주어야겠지요 i의 4제곱은 1이므로 1의 125제곱은 1이 됩니다 이 부분이 1이 되고 그렇게 되면 i의 1제곱만 남게 되므로 값은 i가 됩니다 이 문제는 얼핏 보면 하루 종일 쉬지 않고 계산해야 하는 무시무시한 문제 같아 보이지만 값의 순환을 이용하면 쉽게 풀리죠 i의 500제곱은 1이고 i의 501제곱은 i 곱하기 1입니다 이를 일반화해서 쓰면 i의 지수가 4의 배수인 경우--여기에 있는 k는 k는 지금은 양수인 것으로 제한하겠습니다--k는 0보다 크거나 같다 i의 지수가 4의 배수인 경우 그 값은 1이 되는데 이는 i의 4제곱의 k제곱이 되고 1의 k제곱은 당연히 1이 되기 때문입니다 만약 4의 배수 외에 다른 수가 남아 있다면, 예를 들어 i의 4k+1제곱이라든지 4k+2제곱이라면 바로 전 문제에서 사용했던 방법을 쓰면 되겠지요 몇 문제만 더 풀어보면서 여러분이 정말 괴상한 임의의 수도 풀 수 있도록 실력을 다져 봅시다 이번에는 i의 7321제곱이에요 앞에서 했던 것처럼 7321을 4의 배수와 아닌 것으로 나누어서 생각해 봅시다 7320은 4로 나누어지고 1이 남게 되지요 즉 i의 7320제곱 곱하기 i의 1제곱이 됩니다 7320은 4의 배수인데 몇천은 늘 4의 배수이고 몇백 역시 늘 4의 배수이며 20도 4의 배수이므로 i의 7320은 1로 간단하게 나타내어집니다-- 아, i의 i제곱이 아니라 1제곱이 되겠군요-- 7321은 7320 더하기 1이며 i의 7320제곱은 1로 간단하게 나타내어지고 i의 1제곱, 다시 말해 i만 남게 되겠지요 다른 문제를 풀어 봅시다-- 좀 더 흥미로운 수로요--i의 99제곱을 구해 봅시다 다시, 99보다 작으면서 99에 제일 가까운 4의 배수는 무엇인가요? 96이지요 즉 i의 96제곱 곱하기 i의 3제곱이 됩니다 밑이 같은 수를 곱하면 지수를 더해 주므로 i의 99제곱은 i의 96제곱 곱하기 i의 3제곱입니다 96은 4의 배수이므로 i를 4제곱해준 뒤에 다시 24제곱을 해 줍니다 즉 1을 24제곱하는 것이지요--1이 됩니다 그러면 i의 3제곱만이 남게 되고 i의 3제곱은 -i로 기억하든지 이를 잊어버리면 i의 3제곱은 i의 제곱 곱하기 i로 나타낼 수 있습니다 i의 제곱은 정의에 의해 -1이 되고 -1 곱하기 i은 -i가 됩니다 한 문제만 재미로 더 풀어 보겠습니다 이번에는 i의 38제곱을 풀어 봅시다 이는 i의 36제곱 곱하기 i의 제곱이므로-- 지금 38보다 작으면서 38에 가장 가까운 4의 배수인 36을 사용한 것입니다--2가 남게 되지요 i의 36제곱은 1로 간단하게 되고 i의 제곱이 남게 되는데 -1입니다