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주요 내용

허수단위의 거듭제곱

i²⁷ 을 -i로 간단하게 바꾸는 것처럼, 허수단위i 의 거듭제곱을 간단히 하는 방법을 배워 봅시다.
우리는 i=1이고 i2=1라는 것을 압니다.
그러면 i3이나 i4은 무엇일까요? i에 다른 정수를 거듭제곱하면 어떻게 될까요? 어떻게 이러한 값들을 구할 수 있을까요?

i3i4 구하기

지수의 법칙이 도움을 줄 거예요! i의 제곱을 구할 때, 정수인 지수에 한해서는, 실수에 적용되는 지수의 법칙을 적용할 수 있습니다.
이것을 상기하면서, i3i4을 구해 봅시다.
우리는 i3=i2i라는 것을 알고 있습니다. 하지만 i2=1이기 때문에, 다음 결과를 얻게 됩니다:
i3=i2i=(1)i=i
비슷한 맥락에서, i4=i2i2입니다. 다시 i2=1임을 이용해서, 다음 결과를 얻게 됩니다.
i4=i2i2=(1)(1)=1

i의 지수가 높은 거듭제곱

계속 해봅시다! 비슷한 방식으로 i4제곱까지 한번 구해 봅시다.
i5=i4i지수법칙=1i i4=1=ii6=i4i2지수법칙=1(1)i4=1이고 i2=1=1i7=i4i3지수법칙=1(i) i4=1이고i3=i=ii8=i4i4지수법칙=11 i4=1=1
다음 표에 각 결과가 정리되어 있습니다.
i1i2i3i4i5i6i7i8
i1i1i1i1

나타나는 패턴

표를 보면, i의 거듭제곱은 다음의 순서 i, 1, i, 1 로 반복되는 것으로 보입니다.
이 패턴을 이용해서 i20을 찾을 수 있을까요? 한번 시도해 봅시다!
다음 패턴에서 첫 20개의 수를 살펴봅시다.
i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1, i, 1
이러한 논리에 따르면, i201이어야 합니다. 이것을 지수 법칙을 이용해 증명해 봅시다. 기억하세요, 실수들을 다룰 때처럼 여기서도 지수 법칙을 사용할 수 있습니다!
i20=(i4)5지수법칙=(1)5i4=1=1간단히하기
어느 방식으로든, i20=1이라는 것을 알 수 있습니다.

i의 더 높은 지수의 거듭제곱

이제 i138을 구한다고 해 봅시다. 다음 패턴 i, 1, i, 1,... 을 138번째 항까지 나열할 수도 있겠지만, 시간이 너무 많이 걸릴 겁니다!
하지만 i4=1, i8=1, i12=1 등등, 혹은, i4의 배수 곱이 1이라는 것을 눈여겨보세요.
우리는 이것과 다른 지수의 법칙을 이용해서 i138을 간단히 나타낼 수 있습니다.

예제

i138을 간단히 하세요.

풀이

1384의 배수가 아니지만, 136은 4의 배수입니다! 이것을 이용해 i138을 간단히 해 봅시다.
i138=i136i2지수법칙=(i434)i2136=434=(i4)34i2지수법칙=(1)34i2i4=1=11i2=1=1
i138=1입니다.
이제 여러분은 i138i136i2로 왜 적었는지 궁금할 겁니다.
원래의 거듭제곱이 4의 배수가 아니라면, 가장 가까운 4의 배수 중 그보다 작은 수를 찾으면 i4=1 라는 사실을 이용하여 i, i2, 또는 i3 으로 거듭제곱을 간단히 할 수 있기 때문입니다.
이 수는 원래의 거듭제곱을 4로 나눈다면 쉽게 찾을 수 있습니다. 몫에 (나머지를 제외하고) 4를 곱하면 됩니다.

문제를 몇 개 연습해 봅시다

연습문제 1

i227를 간단히 하세요.

연습문제 2

i2016을 간단히 하세요.

연습문제 3

i537을 간단히 하세요.

도전 문제

다음 중 어느 것이 i1과 같나요?
정답을 한 개 고르세요: