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주요 내용

허수란?

허수단위 i, 허수, 음수의 제곱근에 대해서 배워 봅시다.
수학 공부를 하면서, 어떤 이차방정식들은 실수 해를 갖고 있지 않다는 것을 눈치챘을 겁니다.
예를 들어, 식 x2=1에 대해서는 실수 해를 절대 찾을 수 없습니다. 이것은 실수를 제곱하여 음수가 나오는 것이 불가능하기 때문입니다.
하지만 x2=1의 해는 복소수계라는 새로운 숫자 계열에서는 존재합니다.

허수단위

이 새로운 숫자 계열은 허수단위, 혹은 숫자 i를 기반으로 하고 있습니다.
다음은 i에 대하여 성립하는 조건들입니다:
  • i=1
  • i2=1
두 번째 속성은 ix2=1에 대한 해로 성립한다는 것을 보여줍니다. 이전에 풀 수 없었던 식이 이제 허수단위를 이용함으로써 풀 수 있게 되었습니다!

순허수

i는 혼자가 아닙니다! 허수단위의 곱을 이용해서 순허수들을 무한하게 만들어 낼 수 있습니다.
예를 들어 3i, i5, 12i는 모두 순허수의 예시들이며, 또한 bi의 형태를 가지는 숫자들입니다. 여기서 b는 0이 아닌 실수입니다.
이러한 숫자들을 제곱해 보면 순허수와 실수의 관계에 대해 좀 더 알 수 있습니다. 3i를 제곱해 봅시다. 정수인 지수들의 속성은 그대로이므로, 우리가 생각하는 그대로 3i를 제곱하면 됩니다.
(3i)2=32i2=9i2
i2=1이라는 사실을 이용해서, 다음과 같이 이를 단순화시킬 수 있습니다.
(3i)2=9i2=9(1)=9
(3i)2=9라는 사실은 3i9의 제곱근이라는 것을 의미합니다.

이해했는지 확인하기

(4i)2은 무엇일까요?
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.

다음 중 어느 것이 16의 제곱근인가요?
정답을 한 개 고르세요:

이를 통해 우리는 순허수들이 음수들의 제곱근이라는 것을 알 수 있습니다!

순허수 간단히 하기

아래의 표는 순허수들의 복잡한 형식과 간단한 형식, 두 가지를 모두 보여줍니다.
복잡한 형식간단한 형식
93i
5i5
14412i
하지만 순허수를 이처럼 간단히 나타내려면 어떻게 해야 할까요?
첫 예시를 좀 더 자세히 살펴보면서 알아봅시다.
원래의 등식해설
9=3i9의 제곱근은 허수입니다. 9의 제곱근은 3이므로, 마이너스 9의 제곱근은 3 허수단위, 혹은 3i입니다.
다음 성질은 위의 "해설"을 수학적으로 설명해 줍니다.
a>0일 때, a=ia
이것을 항 간단히 하기에 대하여 우리가 이미 알고 있는 사실과 종합해 보면, 모든 순허수들을 간단히 할 수 있다는 것을 알게 됩니다. 예를 하나 들어봅시다.

예제

18을 간단히 하세요.

풀이

먼저, 18은 음수의 제곱근이므로 허수입니다. 따라서, 먼저 18i18로 새로 적어 봅시다.
다음, 항 간단히 하기와 같은 방식으로 18을 간단히 나타내 봅시다.
풀이는 아래와 같습니다.
18=i18a>0일 때, a=ia=i929는 18의 완전제곱인수입니다=i92ab=ab 는 a,b0일 때 성립합니다=i329=3=3i2곱셈은 가환성입니다
따라서 18=3i2입니다.

문제를 몇 개 연습해 봅시다

연습문제 1

25간단히 하세요.

연습문제 2

10간단히 하세요.

연습문제 3

24간단히 하세요.

허수가 존재하는 이유는 무엇일까요?

답은 간단합니다. 허수단위 i는 실수 해가 없는 수많은 식들에 대하여 해를 찾을 수 있게 해 줍니다.
이상해 보일지 모르겠지만, 등식들이 하나의 숫자 계열에서는 풀리지 않지만 다른, 좀더 통상적인 형태의 숫자 계열에서 풀리는 현상은 매우 흔히 일어납니다.
여러분이 좀더 익숙할 만한 예시 몇 개가 여기 있습니다.
  • 자연수만 가지고는 x+8=1을 풀 수 없습니다. 이를 위해서는 정수가 필요합니다!
  • 정수만 가지고는 3x1=0을 풀 수 없습니다. 이를 위해서는 유리수가 필요합니다!
  • 유리수만 가지고는 x2=2를 풀 수 없습니다. 이를 위해서는 무리수와 실수 계열이 필요합니다!
그리고 실수만 가지고는 x2=1을 풀 수 없습니다. 이를 위해서는 허수가 필요합니다!
여러분들은 수학 공부를 계속하면서, 이러한 숫자들의 중요성에 대해 깨닫게 될 것입니다.