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주요 내용

복소수란?

복소수가 무엇인지, 그리고 복소수의 실수부분와 허수부분에 대해서 배워 봅시다.
실수계에서, x2=1은 해가 없습니다. 이 단원에서는 이 식이 세로운 수 체계 안에서 해를 가질 수 있다는 것을 배울 것입니다.
우리가 배울 새로운 수 체계는 허수단위라고 부르는 i가 핵심입니다.
  • i2=1
  • 1=i
이 허수단위의 곱을 사용해서, 3i, i5 그리고 12i와 같은 새로운 숫자들을 무한히 만들어낼 수 있습니다. 이 숫자들은 허수의 예시들입니다.
또한, 더 나아가 우리는 실수와 허수를 합쳐서, 2+7i32i와 같은 숫자들을 만들 수도 있습니다. 이 숫자들은 복소수입니다.

복소수의 정의

복소수a+bi의 형태로 적을 수 있는 모든 수이며, 여기서 i는 허수단위이고 ab는 실수입니다.
a+bii실수허수부분부분
a실수 부분이고, b 허수 부분입니다.
아래의 표는 복소수의 예시 몇 가지를 보여주고, 실수 부분과 허수 부분을 표기하고 있습니다. 어떤 사람들은 복소수가 통상적인 형식으로 쓰여졌을 때 실수와 허수 부분을 찾기 쉽다고 느낍니다.
복소수a+bi각 부분에 대한 설명
7i22+7i실수 부분은 2, 허수 부분은 7입니다.
43i4+(3)i실수 부분은 4, 허수 부분은 3입니다.
9i0+9i실수 부분은 0, 허수 부분은 9입니다.
22+0i실수 부분은 2, 허수 부분은 0입니다.

이해했는지 확인하기

연습문제 1
13.2i+1의 실수 부분은 무엇인가요?
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.

연습문제 2
2114i의 허수 부분은 무엇인가요?
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.

연습문제 3
17i의 실수 부분은 무엇인가요?
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.

복소수 분류하기

우리는 실수가 무엇인지 이미 알고 있고, 복소수가 무엇인지 방금 정의하였습니다. 이제 다시 돌아가 허수에 대한 정의를 내려 봅시다.
허수는 a=0인 복소수 a+bi입니다.
비슷한 맥락에서, 우리는 실수는 b=0인 복소수 a+bi라고 정의할 수 있습니다.
첫 번째 정의에서, 우리는 모든 허수는 복소수라는 결론을 내릴 수 있습니다. 두 번째 정의에서, 우리는 모든 실수 역시 복소수라는 결론을 내릴 수 있습니다.
추가적으로, 실수도 허수도 아닌 복소수, 이를테면 4+2i와 같은 숫자도 존재할 수 있습니다.
복소수4+2i35i실수512.23허수5i12.2i3i

복습문제

다음 문장은 참일까요 거짓일까요?
모든 복소수는 실수이거나 혹은 허수입니다.
정답을 한 개 고르세요:

예제

아래의 표에서, 우리는 몇 개의 숫자들을 실수, 순허수 그리고/혹은 복소수로 분류하였습니다.
실수(b=0)허수(a=0)복소수(a+bi)
7+8i(7+8i)X
3(3+0i)XX
1(1+0i)XX
1.3i(0+(1.3)i)XX
100i(0+100i)XX
해당 표의 모든 숫자들은 복소수라는 점에 주목하세요! 이것은 일반적으로 사실입니다!

이제 직접 해보세요!

연습문제 4
2+3i는 어떤 수체계에 속할까요?
해당하는 답을 모두 고르세요:

연습문제 5
10.2는 어떤 수체계에 속할까요?
해당하는 답을 모두 고르세요:

연습문제 6
17i는 어떤 수체계에 속할까요?
해당하는 답을 모두 고르세요:

이 숫자들이 왜 중요한가요?

왜 복소수를 공부해야 할까요? 믿거나 말거나, 복소수들은 많은 분야에서 쓰입니다—예를 들면 전자공학이나 양자역학과 같은 분야들에서 말입니다!
순수히 수학적인 관점에서 보자면, 복소수가 가능하게 해 주는 멋진 것들 중 하나는 어떤 다항식이든 풀 수 있게 해 준다는 것입니다.
예를 들어서, 다항식 x22x+5=0은 실수 해도, 허수 해도 없습니다. 하지만 복소수 해는 두 개 가지고 있습니다. 바로 1+2i12i입니다.
수학 공부를 계속하면서, 우리는 이러한 숫자들과 이것들이 어디에 쓰이는지에 대해 더 많이 배우게 될 것입니다.