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코스: 대수학 2 > 단원 2

단원 5: 복소수의 곱셈

복소수의 곱셈

(1+2i) ⋅ (3+i) 와 같이 두 복소수의 곱셈을 하는 방법을 배워 봅시다.

복소수는

a + b i

의 형태로 적을 수 있는 모든 수이며, 여기서

i

는 허수단위이고

a

와

b

는 실수입니다.

복소수의 곱셈을 할 때 기억해야 할 것은 실수의 계산에서 적용된 규칙이 대부분 실수의 곱셈에도 적용된다는 것입니다.

때때로

i

를

x

와 같은 변수로 생각할 수 있습니다. 조금의 변화를 적용하면 곱셈을 완성할 수 있습니다. 여러 예제를 통해 이를 알아봅시다.

복소수의 곱셈

예제

- 4 (13 + 5 i)

를 풀어보세요.

a + b i

의 형태로 나타내세요.

풀이

여러분의 직감이

- 4

를 분배하라고 한다면 그게 맞습니다! 한 번 해봅시다!

\begin{aligned} - 4 (13 + 5 i) & = - 4 (13) + (- 4) (5 i) \\ = - 52 - 20 i \end{aligned}

이게 다입니다! 분배법칙을 사용하여 실수와 복소수를 곱해 봅시다. 좀 더 복잡한 것을 해봅시다.

복소수와 허수의 곱셈

예제

2 i (3 - 8 i)

를 풀어보세요.

a + b i

의 형태로 나타내세요.

풀이

괄호 안의 수에

2 i

를 분배하여 구해 봅시다.

\begin{aligned} 2 i (3 - 8 i) & = 2 i (3) - 2 i (8 i) \\ = 6 i - 16 i^{2} \end{aligned}

아직

i^{2}

을 포함하기 때문에

a + b i

의 형태로 나타낼 수 없습니다.

하지만

i^{2} = - 1

이라는 것을 알기 때문에 해당 값을 대입해 봅시다.

\begin{aligned} = 6 i - 16 i^{2} \\ = 6 i - 16 (- 1) \\ = 6 i + 16 \end{aligned}

교환법칙을 사용하여

16 + 6 i

로 나타낼 수 있기 때문에

2 i (3 - 8 i) = 16 + 6 i

입니다.

이해했는지 확인하기

연습문제 1

$3 (- 2 + 10 i)$ ‍를 풀어 봅시다.
답을 $a + b i$ ‍의 형태로 나타내세요.

연습문제 2

$- 6 i (5 + 7 i)$ ‍를 풀어 봅시다.
답을 $a + b i$ ‍의 형태로 나타내세요.

좋아요! 다음 단계로 넘어가 봅시다! 다음 경우는 복소수의 곱셈을 할 때 보게 될 대표적인 경우입니다.

두 복소수의 곱셈

예제

(1 + 4 i) (5 + i)

를 풀어보세요.

a + b i

의 형태로 나타내세요.

풀이

해당 예제에서는

i

를 변수라고 생각해 볼 수 있습니다.

따라서 두 복소수의 곱셈은 두 이항식의 곱셈과 비슷합니다! 첫 번째 수의 각 항을 두 번째 수의 각 항에 곱해주면 됩니다.

\begin{aligned} (1 + 4 i) (5 + i) & = (1) (5) + (1) (i) + (4 i) (5) + (4 i) (i) \\ = 5 + i + 20 i + 4 i^{2} \\ = 5 + 21 i + 4 i^{2} \end{aligned}

i^{2} = - 1

이기 때문에

i^{2}

을

- 1

로 대체하여

a + b i

의 형태로 나타낼 수 있습니다.

\begin{aligned} = 5 + 21 i + 4 i^{2} \\ = 5 + 21 i + 4 (- 1) \\ = 5 + 21 i - 4 \\ = 1 + 21 i \end{aligned}

이해했는지 확인하기

연습문제 3

$(1 + 2 i) (3 + i)$ ‍를 풀어 봅시다.
답을 $a + b i$ ‍의 형태로 나타내세요.

연습문제 4

$(4 + i) (7 - 3 i)$ ‍를 풀어 봅시다.
답을 $a + b i$ ‍의 형태로 나타내세요.

연습문제 5

$(2 - i) (2 + i)$ ‍를 풀어 봅시다.
답을 $a + b i$ ‍의 형태로 나타내세요.

연습문제 6

$(1 + i) (1 + i)$ ‍를 풀어 봅시다.
답을 $a + b i$ ‍의 형태로 나타내세요.

심화문제

연습문제 1

$a$ ‍와 $b$ ‍가 실수라고 합시다. $(a - b i) (a + b i)$ ‍는 무엇인가요?

연습문제 2

다음 계산을 하고 간단히 해봅시다. $(1 + 3 i)^{2} \cdot (2 + i)$ ‍
답을 $a + b i$ ‍의 형태로 나타내세요.

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