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이차함수 y=a(x-h)²+k 꼴이란?

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이 세 방정식은 딱 봐서는 잘 모르겠지만 사실 같은 방정식입니다 대수적으로 조작하였죠 모두 다른 형태로 말입니다 이 식은 y=ax²+bx+c 꼴입니다 이 식은 y=ax²+bx+c 꼴입니다 이 식은 y=a(x-p)(x-q) 꼴입니다 왼쪽 식을 인수분해하였죠 그리고 마지막 식은 이번 시간에 주로 다룰 식입니다 이 식은 y=a(x-p)²+q 꼴로도 알려져 있죠 다른 식들을 이 식으로 어떻게 나타내는지는 다른 식들을 이 식으로 어떻게 나타내는지는 이 강의에서 다루지 않을 것입니다 다음에 다룰 것입니다 여기서는 왜 이 식이 y=a(x-p)²+q 꼴로 불리는지 알아보려고 합니다 시작하기에 앞서 꼭짓점이 무엇인지 상기시켜 봅시다 다른 강의에서 배웠듯이 y를 x에 대한 2차식으로 나타낸다면 y를 x에 대한 2차식으로 나타낸다면 그래프는 포물선 모양이 됩니다 아래로 볼록하거나 위로 볼록하겠죠 이 식은 아래로 볼록하므로 이 식은 아래로 볼록하므로 이렇게 생겼을 겁니다 이렇게 생겼을 겁니다 이렇게 생겼을 겁니다 아래로 볼록한 포물선에 대해서 꼭짓점은 이 점이 되겠죠 최솟값이라고 할 수 있어요 여기에 꼭짓점의 x좌표가 있고 여기에 꼭짓점의 y좌표가 있습니다 여기에 꼭짓점의 y좌표가 있습니다 이 식을 y=a(x-p)²+q 꼴로 부르는 이유는 이 식으로부터 꼭짓점의 좌표를 구하기 쉽기 때문입니다 이 식으로부터 꼭짓점의 좌표를 구하기 쉽기 때문입니다 어떻게 구하냐고요? 이 식을 잘 보세요 이 식을 잘 보세요 다시 써볼게요 y = 3(x+2)² - 27 y = 3(x+2)² - 27 중요한 것이 있습니다 이 부분은 절대 음수가 될 수 없습니다 이 부분은 절대 음수가 될 수 없습니다 어떤 값이든 제곱을 하면 음수가 나올 수가 없죠 따라서 이 값은 음수가 될 수 없고 여기에 양수를 곱합니다 이 전체는 0보다 크거나 같습니다 이 전체는 0보다 크거나 같습니다 다르게 생각해 볼까요 겨우 -27밖에 더해지지 않았습니다 따라서, 이 곡선의 최솟값은 따라서, 이 곡선의 최솟값은 이 식이 0일 때 즉, -27에 어떤 수도 더하지 않았을 때 나옵니다 그렇다면, 언제 이 값이 0이 되나요? x + 2 = 0일 때 0이 되겠죠 x + 2 = 0일 때 0이 되겠죠 만약 꼭짓점의 x좌표를 구하고 싶다면 만약 꼭짓점의 x좌표를 구하고 싶다면 x + 2 = 0일 때의 x값을 구하면 됩니다 양변에 2를 빼면 x = -2가 나오죠 따라서 이 x좌표는 -2입니다 그러면, 꼭짓점의 y좌표는 무엇일까요? 이렇게 말할 수도 있겠죠 곡선에서 y의 최솟값은 무엇일까요? x = -2일 때 이 값 전체는 0이 되고 y값은 -27입니다 따라서 이 값은 -27이죠 그러므로, 꼭짓점의 좌표는 (-2, -27) 입니다 y=a(x-p)^2+q 꼴을 보면 바로 구할 수 있겠죠 몇 가지 예제를 더 풀어봅시다 y=a(x-p)²+q 꼴이 주어졌을 때 꼭짓점을 바로 구할 수 있게 말이죠 위로 볼록한 포물선이 있다고 합시다 위로 볼록한 포물선이 있다고 합시다 그 식은 다음과 같습니다 y = -2(x-5)² + 10 y = -2(x-5)² + 10 y = -2(x-5)² + 10 y = -2(x-5)² + 10 이 식은 위로 볼록한 함수입니다 왜 그런지 알아보죠 여전히, 이 값은 음수가 될 수 없습니다 하지만 여기에 -2를 곱했으므로 이 값은 양수가 될 수 없겠죠 따라서, 이 값은 모든 x에 대해서 0보다 작거나 같습니다 그래서 이 식은 10을 넘을 수가 없어요 그렇다면, 최댓값은 어디일까요? 최댓값은 x - 5 = 0일 때가 되겠죠 10을 넘어갈 수 없습니다 그래서 x - 5 = 0입니다 즉, x = 5죠 즉, x = 5죠 이 값은 꼭짓점의 x좌표가 됩니다 그러면 꼭짓점의 y좌표는 무엇일까요? 만약 x = 5이고, 이 값이 0이라면 10보다 클 수 없습니다 따라서 y = 10입니다 그러므로, 꼭짓점은 x= 5 눈으로 어림잡아 할게요 아마 여기 있겠네요 y = 10 입니다 여기가 -27이면, 여기는 27이니까 10은 여기 있겠네요 x축과 y축 비율이 좀 다르지만 그냥 하죠 따라서 (5, 10)이 여기 있고 곡선은 아마 이렇게 생겼을 것입니다 x축과 정확히 어디서 만나는지 알 수 없지만 위로 볼록한 포물선 모양이 됩니다 예제 하나 더 해봅시다 y=a(x-p)²+q 꼴에서 꼭짓점을 찾아내는데 능숙해 지도록 말이죠 이런 방정식이 있습니다 y = -π(x-2.8)² + 7.1 y = -π(x-2.8)² + 7.1 y = -π(x-2.8)² + 7.1 이 포물선의 꼭짓점은 무엇일까요? x좌표는 이 식을 0으로 만드는 값입니다 즉, x = 2.8 이죠 이 값이 0이라면 이 값 전체는 0이 되어 y = 7.1이 됩니다 왜 이 식을 y=a(x-p)²+q 꼴로 부르는지 깨달았으면 좋겠네요 이런 형태의 식이 주어졌을 때 꼭짓점을 쉽게 구할 수 있습니다