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안녕하세요 어떤 이차식의 최대값이 가장 작을까요? 지금부터 각각의 이차식의 최댓값을 구해봅시다 세 이차식은 모두 다른 방식으로 표현되었으니 각각에 맞는 방법으로 최댓값을 찾아봅시다 가장 쉬운 것 부터 시작하도록 하죠 h(x)입니다 그래프로 표현되어 있기 때문에 눈으로 보고 답을 알 수 있습니다 최댓값은 이 근처에 있는 것 같네요 x=4일때 입니다 x=4이면 y값, 또는 h(x)값은 -1이 됩니다 따라서 h(x)의 최댓값은 -1입니다 이제, g(x)의 최댓값을 구해봅시다 이번에는 몇개의 점을 알려주었네요 이 경우에도, 눈으로 답을 확인할 수 있네요 g(x)의 최댓값은 얼마일까요? 네, 정답은 5입니다 x=0일때, g(0)=5입니다 따라서 g(x)의 최댓값은 5가 됩니다 이제, f(x)를 봅시다 단순히 식으로만 주어져 있네요 최댓값을 구하기 위해서는 식을 변형시킬 필요가 있습니다 가장 쉬운 방법은 위의 이차식을 완전제곱꼴로 고치는 것입니다 시작하죠! f(x)=-x²+6x-1이라고 주어져 있습니다 이차항의 계수가 음수입니다 마음에 들지 않네요 - 부호를 앞으로 빼 줍니다 그러면 f(x)= -(x²-6x+1)이 됩니다 이때 +1은 괄호의 끝으로 옮깁시다 완전제곱꼴로 만들기 위해서죠 이제, 완전제곱꼴로 만들어 봅시다 우선, 어떤 수를 더하고 빼야 합니다 그렇다면 이 부분은 완전제곱이 됩니다 그 어떤 수가 무엇인지 알아내기 위해서 일차항을 봅시다 일차항의 계수는 -6입니다 반으로 나누어 줍니다 -3이네요 그 다음, 이 수를 제곱합니다 9가 됩니다 그렇다면, 9를 더해 줍니다 하지만 9를 더하기만 하면 식의 값이 바뀌기 때문에, 9를 더하고, 그 옆에서는 9를 빼주어야 합니다 여기서 의문점은 '어차피 빼고 더하면 같은데 왜 이렇게 하는 걸까?' 그 답변을 하자면 이 방법의 핵심은 완전제곱을 만드는 것입니다 x²-6x+9는 (x-3)²과 같습니다 따라서 보라색으로 밑줄 친 부분을 (x-3)²으로 쓸 수 있습니다 완전제곱꼴 옆에 있는 -9+1은 -8로 바꾸어 적을 수 있습니다 이 부분은 가장 중요하기 때문에 다른 색으로 적도록 하겠습니다 따라서 노란색 부분의 값은 -8입니다 그리고 괄호 앞에는 -부호가 있습니다 따라서 괄호 밖으로 식을 빼주면 f(x)= -(x-3)²+8입니다 이제, 최댓값을 구할 수 있습니다 최댓값을 구하기 위해서는 -(x-3)²이 갖는 의미를 알아야 합니다 (x-3)²은 언제나 0또는 양수 값을 가집니다 즉, 항상 음수가 아닌 값을 가집니다 하지만 앞에 - 부호를 붙인다면 항상 양수가 아닌 값을 가지게 됩니다 생각해 봅시다 x=3이라면, 이 값은 0입니다 0에 - 부호를 붙여도 0입니다 x는 모든 값이 될 수 있고 (x-3)²에서 x=3이외의 다른 모든 값은 양수입니다 하지만, 우리가 구하는 식은 -(x-3)²입니다 따라서 8에서 아까 구한 양수 값을 빼야 합니다 즉, f(x)의 최댓값은 -(x-3)²이 0일 때 입니다 -(x-3)²이 하는 역할은 8에서 그 값을 빼주는 것입니다 따라서 최댓값을 구하고 싶다면 -(x-3)²은 0이 되어야 합니다 그리고 x=3일때 식의 값은 0이 됩니다 따라서 x=3일때 가지는 f(x)의 최댓값은 8이 됩니다 이제 여기에 최댓값을 적겠습니다 최댓값은 8입니다 따라서 어떤 이차식의 최댓값이 가장 작을까요? h(x)입니다 감사합니다