곱셈에 대한 0의 성질

(2x - 1)(x + 4) = 0이라는 식이 있습니다 동영상을 잠시 멈추고 이 식의 x값을 구해 보세요 즉 방정식의 해를 구해 보세요 한 번 같이 풀어 볼까요? 처음 이 식을 보고 아마도 각 항을 일일이 곱하고 싶었을 거예요 아니면 다른 방법을 시도했을 수도 있겠네요 어쨌든 여기서 중요한 것은 두 식을 곱해서 0이 되었다는 겁니다 (2x - 1)과 (x + 4)를 곱했을 때 0이 되려면 두 식 중 하나는 0이 되어야 합니다 이에 대해서 좀 더 알아볼까요? 변수 a와 b가 있다고 가정해 봅시다 그리고 두 변수 a와 b를 곱하면 0이 됩니다 0이 아닌 두 수를 곱했을 때 0이 되는 수는 없습니다 만약 a가 7일 때 두 수의 곱이 0이 되려면 b는 0이 될 수밖에 없어요 아니면 b가 5일 때 두 수의 곱이 0이 되려면 a는 0이 될 수 밖에 없습니다 이 예에서 볼 수 있듯이 a와 b 둘 다 또는 둘 중 하나가 0이 되어야 합니다 0 × 0 = 0이기 때문이죠 두 수를 곱했을 때 0이 되려면 둘 중 하나 또는 둘 다 0이 될 수밖에 없어요 이 개념은 정말 중요합니다 여기에 빨간색으로 상자를 그려 둘게요 왜 이렇게 되는지 생각해 보세요 어떤 두 수를 생각했을 때 곱해서 0이 된다면 분명 두 수 중 하나는 0일 거예요 이 개념을 이용해 주어진 문제를 풀어 봅시다 이 식은 옆에서 살펴본 것과 조금 다르네요 (2x - 1)을 a라고 생각하고 (x + 4)를 b라고 생각해 볼게요 두 식의 곱이 0이 되려면 두 식 중 하나가 0이 되거나 둘 다 0이 되어야겠죠 다시 써보면 2x - 1 = 0이거나 x + 4 = 0이 되어야 합니다 색을 바꿔서 썼네요 맞춰서 다시 쓸게요 2x - 1 = 0 또는 x + 4 = 0입니다 이 두 식을 풀어 봅시다 첫 번째 식을 풀기 위해 양변에 1을 더해 줍니다 그러면 2x = 1이 되죠 다시 양변을 2로 나누어 줍니다 이것은 일차방정식을 푸는 방식과 같아요 잘 모르겠으면 일차방정식 동영상을 다시 보고 오세요 여기서 한 가지 해인 x = 1/2을 구했습니다 여기서는 해가 두 개 나올 거예요 이번에는 두 번째 식에서 x를 구하기 위해 양변에서 4를 빼면 x = -4가 나옵니다 이런 식에서는 x값이 두 개가 나올 수 있어요 x = 1/2 또는 x = -4입니다 구한 x값들을 다시 식에 대입해 봅시다 x = 1/2일 때는 어떻게 될까요? 첫 번째 식은 2 · (1/2) - 1이 되고 두 번째 식은 (1/2) + 4가 됩니다 이를 계산하면 어떻게 될까요? 2 · (1/2) = 1이므로 1 - 1 = 0이 됩니다 0에 어떤 수를 곱하든지 항상 0이 되므로 두 번째 항은 계산해 줄 필요가 없어요 따라서 x = 1/2일 때 첫 번째 식은 0이 되며 두 식의 곱도 0이 됩니다 마찬가지로 x = -4를 대입해보면 두 번째 식이 0이 되므로 첫 번째 식의 값이 0이 되지 않더라도 두 식의 곱은 0이 됩니다 다른 예제를 볼까요? 이번에는 함수예요 f(x) = (x - 5)(5x + 2)라는 함수가 있습니다 여기에서 f(x) = 0의 근을 구하려고 해요 이때 근은 f(x)를 0으로 만드는 x값입니다 언제 f(x)가 0이 될까요? f(x)를 0으로 만드는 x값은 무엇일까요? 이것이 f(x) = 0의 근을 구할 때 실제로 구해야 하는 것입니다 언제 f(x) = 0이 될까요? (x - 5)(5x + 2)가 0이 될 때 f(x) = 0이 되겠죠 아까 풀었던 문제와 비슷해졌습니다 (x - 5)(5x + 2)을 0으로 만드는 x값을 구해 봅시다 방금 풀었던 문제와 같으니까 동영상을 잠시 멈추고 직접 풀어 보세요 이 식이 성립하는 경우는 두 가지가 있을 거예요 (x - 5)가 0이 되거나 (5x + 2)가 0이 되어야 하죠 또는 두 식이 모두 0이 되는 경우도 있을 거예요 그러므로 x - 5 = 0이거나 또는 5x + 2 = 0입니다 x - 5 = 0에서 x를 구하기 위해 양변에 5를 더하면 x = 5가 됩니다 5x + 2 = 0에서는 양변에서 2를 빼 볼까요? 그러면 5x = -2가 되겠죠 다시 양변을 5로 나누면 x = -2/5가 됩니다 두 개의 x값을 구했습니다 이 값들을 다시 식에 대입해 봅시다 x = 5일 때 즉, f(5)를 계산하면 (x - 5)의 값은 0이 될 거예요 0에 어떤 수를 곱해도 그 결과는 0이 되므로 (5x + 2)가 27이어도 식 전체의 값은 0 · 27 = 0이 됩니다 f(-2/5)도 계산하면 (5x + 2)가 0이 됩니다 0에는 어떤 수를 곱해도 항상 0이 나오기 때문에 (x - 5)의 값이 어떻게 되든지 식 전체의 값은 0이 됩니다