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유리수와 무리수를 더하면 어떻게 될까요? 결과가 유리수가 될까요? 아니면 무리수가 될까요? 이것에 대한 답을 얻기 위해 일단 답이 유리수가 된다고 가정을 하고, 모순이 발생하나 봅시다. 그러면 유리수 + 무리수 = 유리수 라고 가정해봅시다. 이 첫 번재 유리수는 두 개의 정수 a와 b의 비율로 나타낼 수 있습니다. 여기 있는 무리수는 그냥 x라고 둡시다. 그 두 수의 합은 또 다른 유리수가 되므로, 그것은 다른 두 개의 정수 m과 n의 비율로 나타냅시다. 그러면 우리는 a/b 와 x의 합이 m/n이 된다고 식을 쓸 수 있습니다. 다른 방법으로 표현해보자면, a/b를 이항해서 x = m/n - a/b 라고 나타낼 수도 있습니다. 이 식에서의 우변은 통분해서 (mb-na) / nb라고 정리할 수 있습니다. 이 분수의 분모는 정수 n과 b의 곱이므로 확실히 정수입니다. 분자를 보면 mb도 정수이고 na도 정수이므로 두 정수의 차인 (mb-na)도 정수일 것입니다. 결론적으로, 만약 우리가 기존의 가정을 따른다면 한 가지 모순을 보게 됩니다. x는 무리수인데, 우리가 처음 했던 가정 때문에 두 정수의 비로 나타낼 수 있게 된 것입니다. 처음 가정에 따른다면 x가 유리수가 되어야 하는데 이는 아주 큰 모순입니다. 결국 모순이 생기므로, 기존의 가정을 기각해야 합니다. 결론은 "유리수 + 무리수 = 무리수" 입니다!