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증명: 임의의 두 유리수 사이에는 한 개의 무리수

동영상 대본

임의의 두 유리수 사이에는 항상 무리수가 있다는 것을 증명해봅시다 여기에는 유리수 r1 그리고 r1보다 더 큰 유리수 r2가 있습니다 임의의 두 유리수 사이에는 항상 무리수가 존재합니다 이 수는 무리수 입니다 적어도 무리수 하나는 존재한다는거에요 재미있는 것은, 유리수는 끝없이 존재하는데 끝없는 유리수들 중에서 아무 두 개나 골라도 그 사이에서 항상 무리수가 존재한다는 거죠 유리수 0 과 1 사이 부터 생각해보죠 0과 1 사이의 구간을 생각해봅시다 구간안에서 무리수가 존재한다는 것을 압니다 무리수 하나를 생각해볼까요 √2분의 1은 2분의 √2와 같습니다 대략 얼마쯤 되냐면요 약 0.70710678118..... 숫자는 끝없이 계속 이어집니다 이 숫자들은 반복되지도 않죠 중요한 것은 이 수는 0과 1사이의 수라는 겁니다 여기에 √2분의 1을 쓸 수 있겠죠 확실히 0과 1사이에 있으니까요 두 유리수 사이에 항상 무리수가 존재한다는 것을 증명하기 위해서 이 부등식을 이용해 볼게요 식을 바꿔볼거에요 0 대신에 r1을 1 대신에 r2를 √2분의 1 대신에는 무리수가 오도록 바꿔볼거에요 두 유리수 사이에 존재하는 무리수를요 0과 1사이의 구간 대신에 "0과 두 유리수 의 차" 구간으로 만들어 봅시다 r2와 r1 사이의 거리는 r2 -r1이죠 부등식의 세 부분에 r2 -r1을 곱해봅시다 0 × (r2 -r1)은 당연히 0이 되겠죠 r2가 r1보다 크다는 것은 알고 있으므로 지우고 다시 써볼게요 모든 부분에 r2 -r1을 곱해볼 건데요 r2는 r1보다 더 크므로 0보다 더 큰 양수가 되겠죠 부등식의 양 변에 0보다 큰 수를 곱해줄경우 부등호의 방향은 바뀌지 않습니다 0 × (r2 -r1)은 0 √2분의 1은 √2분의 1 × (r2 -r1)이 되겠네요 그리고 이것은 1 × (r2 -r1) 보다 작습니다 모든 부분이 바뀌어 졌네요 모든 항에 r1을 더해 봅시다 부등식의 모든 부분에 무엇인가를 더할 경우 부등호의 방향은 바뀌지 않습니다 각각의 부분에 r1을 더해볼게요 여기에도 r1 은 r1 은 r1 + √2분의 1 × (r2 -r1) 보다 작다 복사해서 붙여넣기 할게요 다시 쓸 필요없게요 웁스, 이게 아닌데 그렇지 복사해서 붙여넣기 r1 + √2분의 1 × (r2 -r1) 은 우변보다 작겠죠 우변은... r1 + (r2 -r1) 은 어떻게 될까요 r2가 되겠죠 지금 우리는 임의의 두 유리수 사이에 r2가 r1보다 크다고 가정했을 때 방금 우리는 두 유리수 사이에 무리수를 만들어냈죠 여기에는 r2보다 작은 유리수 r1이 있고요 √2분의 1가 두 유리수의 차에 곱해져 있으니 이 전체 항은 무리수입니다 이게 어떻게 무리수인지 아냐고요? 이미 알고 있죠 무리수와 유리수와의 곱의 값은 항상 무리수가 되죠 무리수와 유리수를 더하면 그 값은 무리수가 되죠 임의의 두 유리수 사이에 존재하는 무리수를 만들어 냈습니다