If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

웹 필터가 올바르게 작동하지 않으면 도메인 *. kastatic.org*.kasandbox.org이 차단되어 있는지 확인하세요.

주요 내용
현재 시간:0:00전체 재생 길이:7:28

동영상 대본

이전 영상에서 귀류법을 이용하여 √2 가 무리수임을 보였습니다 이번에도 같은 방법을 사용하여 모든 소수의 제곱근이 무리수임을 보일겁니다 여기 소수 p가 있다고 가정해봅시다 귀류법으로 증명해 보겠습니다 제곱근 p가 유리수라고 가정하고 그 가정이 성립하는지를 확인해봅시다 어떤 수가 유리수라면 2개의 정수의 비로 나타낼 수 있습니다 어떤 수를 정수의 비로 나타낼 수 있다면 서로소인 두 정수로 나타낼 수도 있습니다 공약수가 존재하지 않는 두 정수로요 다른 말로 기약분수라고도 할 수 있습니다 따라서 √p가 더 이상 약분이 되지 않는 분수 a/b라고 가정해봅시다 어떻게 그렇게 할 수 있냐고요? 제곱근 p가 유리수이므로 두 정수의 비인 분수꼴로 나타낼 수 있고 두 정수의 비로 이루어진 분수에서 분자와 분모를 각각 공약수로 약분하면 결국에는 더 이상 약분이 되지 않는 분수인 기약분수를 얻을 수 있습니다 그래서 이렇게 쓸 수 있는 것이죠 a/b는 기약분수입니다 더 이상 약분되지 않는다는 것은 중요한 사실입니다 a와 b는 서로소이다라고 할 수도 있습니다 또 다른 말로는 a와 b는 1을 제외한 공약수를 가지고 있지 않다고도 할 수 있죠 이것을 조금 다뤄봅시다 양변을 제곱해 봅시다 p를 얻고 a/b가 통째로 제곱되면 a²/b²가 되겠죠 양변에 b²을 곱해봅시다 b² × p는 a²와 같다 a²이 무엇을 말해줄 수 있는지 볼까요? a,b가 정수이기 때문에 a²,b²도 정수 이고요 정수 × p 는 a²과 같으므로 p는 a²의 약수입니다 a²은 b의 배수 입니다 a는 무엇을 말해줄 수 있을까요? a도 p의 배수가 될 수 있을까요? 먼저 a의 소인수분해에 대해 알아봅시다 모든 정수는 소수의 연산으로 나타낼 수 있습니다 a를 소수의 연산으로 나타내 봅시다 첫번째 소인수 곱하기 두번째 소인수 곱하기 n번째 소인수 까지 소인수가 몇 개인지는 알 수 없습니다 단지 a가 소인수들의 곱으로 이루어져 있다는 것만 알 수 있죠 이것이 a의 소인수분해입니다 a²의 소인수분해는 어떻게 될까요? a²는 a 곱하기 a 이므로 소인수분해는 f₁ × f₂ .... fn까지 그리고 (f₁ × f₂ .... fn)을 한번 더 곱해주면 되겠죠 이렇게 쓸 수도 있겠죠 f₁ × f₁ × f₂ × f₂ ... fn × fn까지 a²이 p의 배수라는 것을 알고 p가 소수이므로 p는 소인수분해된 인수들 중 하나입니다 p는 f₂ 일수도, f₁ 일수도 있습니다 확실한 건 반드시 이 인수들 중 하나라는 것이죠 p는 이 인수들 중 하나여야 합니다 인수중에서 임의로 하나를 골라보겠습니다 p가 f₂라고 합시다 p가 f₂라면, p는 a의 약수입니다 따라서 a는 p의 배수라고 할 수 있습니다 다른 말로 a = 어떤 정수(k) × p 라고 할 수 있겠네요 이 부분에 표시를 해두겠습니다 나중에 다시 쓰기 위해 말이죠 이것을 어떻게 쓸까요? √2가 무리수라는 것을 증명했을 때처럼 이전의 방정식으로 돌아가 봅시다 b^p = a^ 라는 식이 있죠 b^p = a^에서 a는 kp와 같습니다 따라서 이 식을 (kp)^으로 나타낼 수 있죠 (kp)^을 분배해주면 b^p=k^p^가 되고 양변을 p로 나누면 b^가 p곱하기 k^이라는 걸 알 수 있습니다 다시말하면 k^ 곱하기 p죠 a^가 b^p와 같다면 여기서 a는 p의 배수입니다 따라서 이 식을 다르게 적을 수 있겠네요 b^은 정수의 제곱이니 정수가 되고 p를 곱합니다 따라서 b^은 p의 배수가 되겠죠 그리고 여기 적혀있는 것을 바탕으로 논리적으로 본다면 b는 p의 배수가 됩니다 여기에는 모순이 있네요 처음 가정에서 a와 b가 1을 제외하고 양의 정수 요소를 가지지 않는 서로소의 수라고 했죠 즉 a/b가 더이상 나누어지지 않는다고 가정했습니다 그러나 지금 a가 p의 배수이고 b가 p의 배수라고 추론했습니다 다시 말해 p로 a와 b를 나눌 수 있다는 것이죠 따라서 모순이 됩니다 처음에 나누어질 수 없다고 가정했지만 나누어질 수 밖에 없다는 것을 보였습니다 분자와 분모가 p라는 공통 인수를 가지고 있기 때문이죠 따라서 모순이 성립되었습니다 p의 제곱근은 유리수가 될 수 없습니다 p의 제곱근은 무리수입니다 다시 적으면 p의 제곱근은 무리수입니다 모순 때문에 말이죠