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함수의 역할에 대해 생각해 본 뒤 역함수의 개념에 대해 알아보도록 합시다 간단한 함수부터 시작해 보도록 하죠 함수 f(x) = 2x + 4라고 하죠 f(2)를 선택하면 f(2)는 2곱하기2 더히기4 와 같고, 이는 4더하기 4인 8과 같습니다 f(3)을 구하면, 2곱하기3 더하기4이며 이는 10과 같습니다 6더하기 4이기 때문이죠 지금부터 조금 추상적으로 생각해 봅시다 이 함수에 넣을 수 있는 수의 집합이 있습니다 다른 익숙한 표현이 있는데 이것이 바로 정의역이죠 함수에 넣을 수 있는 것들의 집합을 정의역이라고 부릅니다 정의역에는 2가 있겠고, 3도 있겠죠 함수에 어떠한 실수라도 넣을 수 있을 겁니다 이것은 실수 전체가 되어야 하지만 보기 쉽게 하기 위해 이것만 적도록 합시다 이제 함수를 적용해서 f(2)를 생각해 보도록 합니다 숫자 2를 대입하면, 함수는 8을 출력합니다 2를 8과 연결할 수 있겠죠 이제 함수가 가질 수 있는 값들의 집합을 새로 그려보도록 합시다 이것을 치역이라 부를 수 있겠죠 특히 선형대수학에서는 이것을 말할 때 더 일반적인 방법이나 더 엄밀한 방법을 사용하지만, 간단히 말해 함수로부터 얻을 수 있는 모든 값들 입니다 그래서 정의역으로부터 2를 선택하면 이것을 함수에 넣고 8과 연결할 수있습니다 그럼 이것을 그려보도록 합시다 그러면 2를 8로 보내는 그림을 그리고 이것은 함수에 의한 결과입니다 함수가 연결을 합니다 이 함수는 2를 8로 보내고 있죠 이 값은 f(2)와 같습니다 같은 방법으로 3을 함수에 의해 10과 연걸할 수 있습니다 이렇게 관계를 만듭니다 함수는 3을 10으로 보냅니다 이제, 흥미로운 질문이 발생합니다 8에서 2로 거꾸로 가는 방법 혹은 10에서 3으로 가는 방법은 없을까요? 혹은 다른 함수가 있을까요? 위 과정을 반대로 수행하는 역함수라고 불리는 함수가 있을까요? 10에서 3을 얻을 수 있는 함수가 있을까요? 우리는 이런 함수를 역함수라 부르며 이것은 10을 3으로 보낼 것입니다 이것을 할 방법이 있을까요? 같은 역함수가 반대 과정을 해서 8로 부터 2를 얻을 수 있을까요? 역함수에 8을 대입하면 2를 얻을 수 있을까요? 이 모든 것들이 추상적이고 어렵게 들릴 수도 있지만 여러분은 f의 역함수를 구하는 방법이 사실 매우 쉬운것임을 알게 될 것입니다 한번 해보면 쉽게 이해할 수 있을 것입니다 함수가 2를 8로 보내기에 역함수는 8을 2로 보낼 것 입니다 시작해 봅시다 먼저 y = f(x)라고 정의하겠습니다 y=f(x)입니다 y는 f(x)이며 이는 2x+4와 같습니다 그래서 y=2x+4라고 쓸 수 있고요 이제 이것이 주어진 함수입니다 함수에 x를 넣으면 y를 얻을 수 있습니다 그렇지만 우리는 다른 방식을 원합니다 우리는 y를 주고 x를 얻기를 원합니다 그래서 우리는 x를 y에 대한 식으로 표현할 것입니다 해보도록 하죠 등식의 양번에서 4를 빼고 색을 바꾸도록 하죠 4를 양변에서 빼면 y-4=2x라는 식을 얻고요 그리고 식의 양변을 2로 나누면 y/2-2=x가 됩니다 위와 같은 방식으로 쓰고 싶다면 양변을 바꾸어 x는 y/2와 같은 1/2y 빼기 2와 같다고 적어도 됩니다 여기 적은 식은 y에 대한 함수이며 우리가 원하는 x를 돌려줍니다 우리는 이 값들을 x로 되돌려 보내는 함수를 구했습니다 이것은 이렇게 쓸 수 있죠 같은 색으로 써 보면 이것은 y에 대한 f 역함수와 같습니다 조금 더 깨끗하게 써보도록 하죠 f 역합수 y를 y에 대한 함수로 쓸 수 있고 8과 10처럼 치역이었던 부분이 정의역이 됩니다 f역함수 y는 1/2y-2와 같습니다 우리가 한 것은 처음 주어진 함수 y=2x+4으로부터 약간의 연산을 통해 x를 y에 대해 나타내었고 이것이 f의 역함수입니다 여기 있는 것처럼 말입니다 그리고 알고 있듯이 이 문자 y를 a, b, x등 원하는 문자로 바꿀 수 있습니다 그러니 그냥 y를 x로 바꾸도록 하죠 그래서 x를 이 함수에 대입하면 f역함수 x는 1/2x-2가 됩니다 즉 해야 될 것은 x에 대해여 정리한 후 y를 x로 바꾸는 것입니다 이것이 가장 쉬운 방법입니다 이제 살펴볼 것은 함수와 역함수의 그래프입니다 이제 여기 빠르게 그래프를 그려보도록 합시다 후에 역함수를 구하는 다양한 문제를 풀 것이지만 그전에 일반적 내용을 보도록 합시다 함수는 정의역 원소를 치역으로 보내며 역함수는 본래의 값으로 되돌립니다 만약 존재한다면요 이제 그래프를 그려보도록 하겠습니다 좌표축을 여기 그리고 촤표축을 그리겠습니다 본래 함수인 2x+4의 y절편은 4가 될 것입니다 기울기는 이렇게 보이겠죠 기울기 2를 가지기 때문에 조금 깔끔하게 그려보죠 이렇게 그려집니다 이것이 본래 함수의 그래프입니다 이 함수는 어떻게 보일까요? x에 대한 역함수의 그래프는 어떨까요? 우리는 x에 대해 정리한 후 y와 x를 바꾸었습니다 y를 f역함수 x라 할 수 있습니다 그래서 y절편이 -2이며, 기울기는 1/2이 됩니다 이 기울기는 이렇게 보이기 때문에 그래프를 그려 보자면 기울기는, 혹은 함수는 이렇게 생겼습니다 어떤 관계가 있을까요? 두 그래프를 보면 무엇인가에 대칭인 것처럼 보입니다 무엇에 대해 대칭인지는 y=x그래프를 그려보면 알 수 있습니다 y=x는 이렇게 생겼고 점선으로 그리도록 하겠습니다 y=x는 이렇게 보이겠죠 이것이 y=x입니다 이제 볼 수 있듯이, 함수와 그 역함수는 y=x에 대해 대칭인 모양입니다 그리고 이것은 논리적으로 모순이 없습니다 이 직선 위에서 쉬운 예시를 들어보도록 하겠습니다 함수에 0을 대입하면, 즉 f(0)는 4와 같습니다 함수는 0을 4로 보냅니다 역함수의 경우, f역함수에 4를 대입해서 f역함수 4는 0과 같습니다 f역함수는 4를 0으로 보냅니다 이는 예상했던 것과 같습니다 함수는 x를 y로 보내며, x와 y를 바꾸면 역함수를 얻게 됩니다 이것이 y=x에 대해 대칭인 이유입니다 여기서 보여드렸던 예시에서는 함수가 0을 4로 보내고 같은 색으로 그려보죠 함수는 0을 4로 보내고, 여기서 볼 수 있듯이 f(0)=4입니다 그래서 0을 4로 보내고, 역함수는 거꾸로 4를 0으로 보냅니다 그래서 f역함수는 4를 0으로 보냅니다 여기서도 볼 수 있습니다 4를 생각해 보면 1/2 곱하기 4 빼기 2는 0입니다 다음 영상에서는 여러분이 이 방법을 잘 이해하고 응용할 수 있도록 만들어주는 문제들을 풀어보도록 하겠습니다