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역함수 구하기: 알차식

동영상 대본

주어진 함수는 f(x) = -x+4입니다 여기 좌표계에 함수의 그래프가 그려져 있습니다 f의 역함수를 구해 봅시다 역함수를 알아내기 위해서 변수 y를 f(x)라고 정의하겠습니다 이렇게 하면 y = -x+4라고 쓸 수 있습니다 지금 우리는 y를 x의 식으로 나타냈습니다 역함수를 구하기 위해서는 이것을 반대로 하면 됩니다 x를 y의 식으로 나타내 봅시다 양변에서 먼저 4를 뺍니다 y-4는 -x가 됩니다 이제 x에 관해 풀어야 하므로 양변에 -1을 곱합니다 그러면 -y+4 = x가 됩니다 관습적으로 종속변수를 왼쪽에 쓰니까 이 식을 다시 고쳐 쓰면 x = -y+4가 됩니다 아니면 이 식을 f 역함수 y는 -y+4라고 쓸 수도 있습니다 이게 우리가 구한 역함수입니다 여기서는 y에 대해 나타냈지만 y 자리에 x를 치환해 x의 함수로 나타낼 수 있습니다 그렇게 해 보겠습니다 여기 있는 y를 x로 바꾸면 f 역함수 x는 -x+4가 됩니다 이 두 함수는 정확히 일치합니다 여기서는 y를 독립변수, 그러니까 함수에 대입할 변수로 사용한 것이고 여기서는 x를 사용한 것으로, 두 함수는 같은 함수입니다 그러면 이제 역함수의 그래프를 그려 원래 함수와의 관계를 살펴 봅시다 이 함수들을 보면 두 그래프가 동일하다는 것을 알 수 있습니다 -x+4로 말입니다 두 함수는 정확히 같은 함수입니다 y절편 4에 대해서 두 함수는 같은 일을 할 것입니다 이 함수는 스스로의 역함수입니다 역함수를 그리려면 이 위에 그대로 그리면 됩니다 이제 몇 가지를 더 생각해 봅시다 이전 역함수 영상에서 제가 원래 함수와 그 역함수의 그래프는 y=x에 대해 대칭이라고 말씀드렸습니다 여기서 y=x 그래프는 어떻게 될까요? y=x를 그리면 이렇게 됩니다 -x+4의 그래프는 사실 y=x의 그래프에 수직이기 때문에 대칭시켜도 결국 같은 직선이 됩니다 직선이 자신의 대칭직선이 되는 것입니다 실제로 그런지 한 번 봅시다 여기 있는 원래 함수에서 2를 대입하면 함숫값은 2로 갑니다 4를 대입하면 0이 되고 반대 방향으로 하면 어떻게 될까요? 2를 대입하면 양쪽 값이 모두 2이므로 성립합니다 원래 함수에서 4는 0으로 갔었는데 역함수에서는 0이 4로 갑니다 모두 성립하는군요 다른 방식으로 생각해 봅시다 원래 함수에서 -- 여기다가 한 번 더 확실히 쓰겠습니다 헷갈리시는 분들이 있을 것 같아서 도움이 될 것입니다 f(5)를 계산해 봅시다 f(5)는 -1입니다 함수 f가 5를 -1로 보내는 것입니다 f 역함수는 어떨까요? f 역함수 -1은 얼마인가요? f 역함수 -1은 5입니다 f가 -1을 5로 보내는군요 이제 함수의 집합들, 그러니까 정의역과 치역에 대해 생각해 봅시다 이게 정의역이고 이게 치역이라고 합시다 함수 f는 5를 -1로 보냅니다. 이게 f였고 f 역함수는 -1을 다시 5로 보냅니다 역함수를 구했기 때문에 이건 당연한 결과입니다 한 문제 더 풀어 보겠습니다 주어진 함수 g(x)는 -2x-1입니다 방금 풀었던 문제처럼, 이 식을 y라고 놓겠습니다 y=g(x), 그러니까 y = -2x-1이 됩니다 이제 x에 대해서 풀겠습니다 먼저 y+1 = -2x입니다 양변에 1을 더해서 말입니다 양변을 -2로 나누면 -y/2-1/2=x, 즉 x = -y/2-1/2이 됩니다 이걸 다시 f 역함수 y가 -y/2-1/2라고 쓸 수 있습니다 이제 y를 x로 바꿔 쓰면 f 역함수가 -- 아 잠시만요 f가 아니군요 원래 함수가 g였습니다 g 역함수 y가 -y/2-1/2입니다 처음 시작할 때 f(x)가 아니라 g(x)였기 때문입니다 표기를 정확히 해야 합니다 자 다시 y를 x로 고쳐 쓰면 g 역함수 x는 -x/2-1/2가 됩니다 그래프를 그려 봅시다 y절편은 -1/2입니다 여기 있네요 기울기는 -1/2이니까 -1/2에서 시작해서 x축 방향으로 1만큼 움직이면 1/2만큼 아래로 내려와야 합니다 x축 방향으로 다시 한 번 1만큼 움직이면 다시 한 번 1/2만큼 내려오게 됩니다 반대로는 이런 식으로 될 것입니다 최선을 다해서 직선을 그려 보겠습니다 이런 모양이 될 것입니다 이런 형태로 양쪽으로 계속 뻗어 나갈 것입니다 이 두 그래프가 y=x에 대해 대칭인지 확인해 보면 정말 그렇다는 것을 알 수 있습니다 이 파란 직선을 대칭시키면 이 오렌지색 직선이 됩니다 자, 마지막으로 정리하겠습니다 역함수를 구할 때의 기본적인 아이디어는 y가 x의 식으로 표현된 원래 함수에서 몇 번의 연산을 통해 x를 y의 식으로 나타낸 다음 이렇게 얻은 역함수에서 y를 x로 고쳐 쓰는 것입니다