y=f(x)를 그래프에
그렸습니다 그래프에서 이 구간이
양수인지 음수인지, 증가하는지 감소하는지
생각해 보십시오 먼저, 이 함수가 언제
양수가 되는지 보겠습니다 여기서 '양수'란
함숫값이 0보다 큰 것으로, 따라서 함숫값이
x축의 위쪽에 나타나야 합니다 바로 지금 노랗게
색칠하는 부분이죠 여기도 x축의
윗쪽 부분입니다 이 구간들을
수학적으로 적고 싶다면 일단 이 점을
x = a 이 점은 x = b,
이 점은 x = c라고 부릅시다 그럼 a와 b의 사이는
양수라고 부를 수 있고 x = a일 때와 x = b일 때
함숫값은 0이 됩니다 x가 a 와 b
사이이거나 x가 c보다 클 때는
양수입니다 c가 x보다 작을 때 이게 함수가
양수가 되는 구간입니다 f(x)가 양수인 구간은
a<x<b 이거나 0>x>c 죠 그럼 f(x)가 언제 음수가 될까요?
다른 색으로 그리죠 f(x)가 음수인 구간은 x가 a보다 작을 때
또는 b와 c의 사이에
있을 때입니다 즉, f(x)가 x축의 아래에
있을 때 음수가 됩니다 b와 c의 사이가
음수가 되는 구간입니다 저는 '크거나 같다'고
하지 않았습니다 x가 b일 때와 c일 때
함숫값은 0이기 때문입니다 당연한 얘기죠 이제 다음
질문입니다 언제 함수가
증가하거나 감소할까요? f(x)가 증가하는
구간을 찾죠 f(x)의 증가 구간에서는
반드시 x가 증가할 때
y도 증가합니다 즉, 양수의 비율로
y가 변할 때 증가합니다 임의의 점에서의
접선(tangent line)을 그리면 이건 접선의
기울기가 양수죠 x값이 증가할 때
y값도 증가합니다 증가구간을
파란색으로 칠했습니다 이 점에
올 때까지 증가합니다 그리고 여기에 있는
이 점까지는 감소합니다 그리고 다시
증가하게 됩니다 조금 더 표시를
해보겠습니다 이 점은 x=d,
초록색으로 바꿀게요 이건 x = d,
순서대로 a, d, b 이 점은
x = e라고 하죠 이 함수가
증가하는 구간은 x가 d보다 작을 때입니다 x가 d보다 '크거나 같다'라고
적진 않았습니다 이 지점 d에서는
증가에서 감소로 변하지만 점 d에서는 증가도
감소도 아닙니다 x가 d보다 작거나
e보다 클 때 함수는 증가합니다 그러면 함수가
어디에서 감소할까요? 다른 색으로 하겠습니다 언제 감소할까요? f(x) 함수가 감소한다면
이곳에는 무슨 일이 생길까요? d와 e 사이에서는
감소하지만 d와 e 점에서는 감소하지도
증가하지도 않습니다 x가 증가할 때
y에게 무슨 일이 일어납니까? x가 증가하면
y는 감소하게 됩니다 x가 증가하면
y는 감소하게 됩니다 x가 d와 e의 사이에 있을 때
함수는 감소하게 됩니다 양수나 음수가 되는 구간은
함수의 증가 또는 감소 구간과 늘 완벽하게
일치하지는 않습니다 따라서 이 둘을 분리해서
생각하시길 바랍니다