증가 및 감소 구간, 음수 또는 양수인 구간

y=f(x)를 그래프에 그렸습니다 그래프에서 이 구간이 양수인지 음수인지, 증가하는지 감소하는지 생각해 보십시오 먼저, 이 함수가 언제 양수가 되는지 보겠습니다 여기서 '양수'란 함숫값이 0보다 큰 것으로, 따라서 함숫값이 x축의 위쪽에 나타나야 합니다 바로 지금 노랗게 색칠하는 부분이죠 여기도 x축의 윗쪽 부분입니다 이 구간들을 수학적으로 적고 싶다면 일단 이 점을 x = a 이 점은 x = b, 이 점은 x = c라고 부릅시다 그럼 a와 b의 사이는 양수라고 부를 수 있고 x = a일 때와 x = b일 때 함숫값은 0이 됩니다 x가 a 와 b 사이이거나 x가 c보다 클 때는 양수입니다 c가 x보다 작을 때 이게 함수가 양수가 되는 구간입니다 f(x)가 양수인 구간은 a<x<b 이거나 0>x>c 죠 그럼 f(x)가 언제 음수가 될까요? 다른 색으로 그리죠 f(x)가 음수인 구간은 x가 a보다 작을 때 또는 b와 c의 사이에 있을 때입니다 즉, f(x)가 x축의 아래에 있을 때 음수가 됩니다 b와 c의 사이가 음수가 되는 구간입니다 저는 '크거나 같다'고 하지 않았습니다 x가 b일 때와 c일 때 함숫값은 0이기 때문입니다 당연한 얘기죠 이제 다음 질문입니다 언제 함수가 증가하거나 감소할까요? f(x)가 증가하는 구간을 찾죠 f(x)의 증가 구간에서는 반드시 x가 증가할 때 y도 증가합니다 즉, 양수의 비율로 y가 변할 때 증가합니다 임의의 점에서의 접선(tangent line)을 그리면 이건 접선의 기울기가 양수죠 x값이 증가할 때 y값도 증가합니다 증가구간을 파란색으로 칠했습니다 이 점에 올 때까지 증가합니다 그리고 여기에 있는 이 점까지는 감소합니다 그리고 다시 증가하게 됩니다 조금 더 표시를 해보겠습니다 이 점은 x=d, 초록색으로 바꿀게요 이건 x = d, 순서대로 a, d, b 이 점은 x = e라고 하죠 이 함수가 증가하는 구간은 x가 d보다 작을 때입니다 x가 d보다 '크거나 같다'라고 적진 않았습니다 이 지점 d에서는 증가에서 감소로 변하지만 점 d에서는 증가도 감소도 아닙니다 x가 d보다 작거나 e보다 클 때 함수는 증가합니다 그러면 함수가 어디에서 감소할까요? 다른 색으로 하겠습니다 언제 감소할까요? f(x) 함수가 감소한다면 이곳에는 무슨 일이 생길까요? d와 e 사이에서는 감소하지만 d와 e 점에서는 감소하지도 증가하지도 않습니다 x가 증가할 때 y에게 무슨 일이 일어납니까? x가 증가하면 y는 감소하게 됩니다 x가 증가하면 y는 감소하게 됩니다 x가 d와 e의 사이에 있을 때 함수는 감소하게 됩니다 양수나 음수가 되는 구간은 함수의 증가 또는 감소 구간과 늘 완벽하게 일치하지는 않습니다 따라서 이 둘을 분리해서 생각하시길 바랍니다