함수란?

제가 앞으로 매우 추상적이게 설명할 함수라는 것은요, 입력이라는 것을 받아서 정해진 일을 한 뒤, 입력과 관련된 출력을 내보내는 것이지요. 함수라는 것에 대한 예를 들어보자면, x를 입력으로 두고, f를 함수의 이름으로 두었을 때, [f(x)는 짝수일 때 x를 제곱하고, 홀수일 때 5를 더합니다]와 같은 것이 함수입니다. 그렇다면, 예시로 든 함수에 2를 집어넣으면 뭐가 될까요? 이를 우리들은 f(2)로 표현합니다. 함수의 조건을 보죠."2가 짝수라면 제곱을 하고, 2가 홀수라면 5를 더하세요."가 이 함수의 조건이군요 2가 짝수이므로, 우리들은 f(2)=4라고 표현합니다. 그렇다면 함수에 3을 집어넣으면 뭐가 될까요? "3이 짝수하면 제곱을 하고, 3이 홀수라면 5를 더하세요."가 이 함수의 조건이었죠? 3이 홀수이므로, 우리들은 f(3)=8이라고 표현합니다. 꽤나 깔끔하다고 생각하시죠? 매우 큰 { 괄호를 쓰지 않고도 함수를 표현하는 방법도 있습니다. 우리들은 [h(a)는 입력된 영어 단어의 첫번째 글자로 시작하는 그 다음으로 큰 수]라고 함수를 정의내릴 수도 있습니다. 그렇다면 h(2)는 무엇일까요? 2가 two 이므로, t로 시작하는 그 다음으로 큰 수는 바로 three, 3이죠. 그래서 h(2)=3이라고 할 수 있습니다. h(8)는 무엇일까요? 8이 eight이므로, e로 시작하는 그 다음으로 큰 수는 바로 eleven, 11이죠. 그래서 h(8)=11입니다. 보시는바와 같이 함수는 매우 광범위하게 사용되는 일반적인 도구입니다. 사실 우리들은 이미 함수를 접하고 있습니다! 당신은 공부를 하면서 y=x+1이라는 공식을 이미 봤을 꺼에요. 이것 또한 함수의 한 형태입니다. [y=f(x)=x+1]으로 표현해보면, x에 0을 넣는다면, y=1이 되고, x에 2를 넣으면, y=3이 되는 함수라는 것이지요. (선생님이 조금 후에 2를 3으로 고치십니다) 표로 표현한다면, x=0일때 y=1이고... 아이고 실수했네요. x=2일때 2가 아니라 3이지요. 다시, 표로 표현해보죠. x=0일때 y=1이고, x=2일때 y=3이었죠. 그렇다면 왜 우리들은 굳이 f(x)라는 것을 사용해서 함수를 나타낸 걸까요? 그것은 바로 f(x)를 사용할 때 우리가 입력이 무엇인지 확실하게 알 수 있다는 장점이 있기 때문이죠. 그렇다면 함수가 아닌 것은 무엇일까요? 그것들은 하나의 입력에 대하여 하나의 출력만 나오지 않습니다. 눈으로 보기 쉽게 설명하기 위해 그래프를 사용하자면, 좌표축을 잡고, 반지름이 2이고, 중심이 원점인 원을 그려보겠습니다. 이 원의 방정식은 x^2+y^2=4로 표현됩니다. 이 x와 y의 관계식은 과연 함수일까요? 아무 x나 잡아보도록 하겠습니다. x=1일 때, 한 x값에 대하여 보시는 바와 같이 양의 y방향에서와 음의 y방향에서 두 개의 값이 있습니다. 수식에서 표현을 해보도록 하죠. x^2+y^2=4 식에 x=1을 넣어보면, 1+y^2=4, y^2=3이 됩니다. 즉, y=±√3이 됩니다. 지금과 같이 x=1을 넣었을 때 두개의 출력이 있었을 경우 우리들은 이것을 함수라 부르지 않습니다. 함수는 반드시 하나의 입력에 대하여 하나의 출력만 있어야 합니다.