방정식의 해의 개수

여기에 나오는 세 개의 일차방정식에 대한 해의 개수를 알아봅시다 우선, 방정식을 풀기 전에 해가 한 개 이거나 무수히 많거나 해가 없다는 것의 의미에 대해서 생각해 봅시다 방정식의 해가 한 개라는 것은 식을 풀었을 때 미지수 x가 하나의 값을 가진다는 의미입니다 그렇다면 x는 a라고 가정해 볼 수도 있고 혹은 5, 10 아니면 -π같은 어떠한 수라도 될 수 있습니다 즉, x에 대한 방정식을 풀었을때 한 개의 해만 가질 수 있습니다 따라서 이 경우에는 하나의 해를 가질수 있죠 이제 다른 경우를 알아봅시다 옳게 방정식을 풀었으나 3 ＝ 5라는 모순이 나왔습니다 이 경우는 해가 없습니다 방정식을 푼다는 것은 그 식을 만족하는 x의 값을 구하는 과정입니다 그러므로 간단하게 생각하면 3 ＝ 5라는 식을 풀기 위해서는 이 식을 만족시키는 x가 있는지 찾아보는 것입니다 결과는 없다 입니다 어떤 x도 3을 5가 되게 할 수는 없습니다 즉, x에 어떤 수를 대입하더라도 이 방정식은 성립할 수 없습니다 이와 같은 경우에 대해서 해가 없다고 합니다 또 다른 경우를 알아봅시다 방정식을 전개한 결과가 5 ＝5라고 가정해 봅시다 5 말고 7, 10 또는 113 어떤 수가 되든 상관없습니다 5가 아니어도 된다고 했으므로 다른 수로 바꿔보겠습니다 어떤 수를 선택하든지 어떤 수는 항상 자기 자신과 당연히 같습니다 즉 어떤 x가 되든 식이 성립되므로 이 방정식은 항상 참이 됩니다 이 경우 무수히 많은 해가 있습니다 방정식의 해에 대한 개념을 가지고 방정식을 풀어 봅시다 이 방정식에서는 뺄셈을 해보는게 좋을거 같군요 좌변에 있는 2를 없애기 위해 양변에서 2를 빼면 되겠군요 양변에서 2를 빼면 좌변은 -7x만 남고 우변은 2x와 -9x가 남습니다 2x－9x는 -7x가 되지요 결과는 -7x ＝ -7x가 됩니다 이 식이 의미하는 것을 이해할 수 있겠죠 x가 어떤 값이든 이 식은 참이 됩니다 어떤 x가 되는 -7을 곱한 결과는 당연히 x에 -7을 곱한 것과 같죠 비슷한 경우이긴 하지만 13＝13과 완전히 같은 경우라고는 할 수 없겠네요 그렇다면 양변을 -7로 나누어 볼까요 사실 필요없는 과정이지요 이미 알고 있는 것처럼 어떤 수에 -7를 곱한 결과는 그 수에 -7을 곱한 것과 항상 같으니까요 어쨌든 -7로 나눠보면 x = x가 됩니다 이제 양변에서 x를 빼면 결과는 0 ＝ 0 입니다 x가 어떠한 값을 가지든지 이 식은 참이 됩니다 0은 언제나 0과 같습니다 다시 말해 x를 어떤수로 정하든 식은 참이 됩니다 첫 번째 방정식을 풀어본 결과 이 식은 무한히 많은 해를 가지고 있습니다 이제 가운데 있는 방정식을 볼까요? 함께 풀어 봅시다 조금 다른 방식으로 해볼게요 이번에는 우변의 2x와 -9x를 먼저 계산해 봅시다 2x－9x는 -7x이니까 -7x ＋ 3 ＝ -7x ＋ 2 입니다 먼저 계산한 2x－9x만 다른 색으로 적고 ＋ 2 는 원래 색으로 적을게요 이제 양변에 7x를 더해 볼게요 좌변에 7x를 더하면 3만 남고 우변에 7x를 더하면 서로 사라지니까 2만 남네요 양변에 7x를 더했더니 말이 되지 않는 결과가 나왔네요 x가 어떤 값을 가지든지 3 ＝ 2를 만족하는 x는 없습니다 즉, 해가 없습니다 이 식을 만족하는 x는 세상 어디에도 없습니다 마지막 방정식을 풀어 봅시다 좌변의 상수항을 제거하기 위해서 양변에서 3을 뺍니다 좌변은 -7x만 남고 우변은 2x－1이 됩니다 우변의 2x를 제거하기 위해서 양변에서 2x를 빼면 결과는 -9x ＝ -1이 됩니다 양변을 -9로 나눠 봅시다 x ＝ 1/9 이 됩니다 이 방정식을 푼 결과 식을 만족하는 x의 값, x ＝ 1/9을 찾았습니다 즉, 이 방정식은 하나의 해를 가집니다