수열 문제 해결하기

모하마드는 매년 뒤뜰에 있는 나뭇잎의 개수를 기록하려고 합니다 첫 번째 해의 나뭇잎 개수는 500개였고 매년 나뭇잎 개수는 지난해 나뭇잎 개수의 40%만큼 증가합니다 n은 양의 정수이며 n에 대한 식 f(n)은 모하마드가 나뭇잎 개수를 기록하기 시작한 뒤 n번째 해의 나뭇잎의 개수를 나타냅니다 f(n)은 수열을 나타냅니다 무슨 수열을 나타낼까요? 암산을 해보면 매년 40%씩 증가하므로 1.4를 곱해주는 것과 같습니다 수열의 각 항에 어떤 수를 곱하거나 나누는 형태입니다 그러므로 이 수열은 등비수열(Geometric)을 나타내겠죠 좀 더 자세히 알아봅시다 표를 한번 그려 볼게요 표의 왼쪽은 n이고 오른쪽은 f(n)이라고 하겠습니다 n이 1이면 첫해를 나타내므로 나뭇잎의 개수는 500개입니다 그러므로 f(n)은 500이 됩니다 n이 2일 때는 매년 40%씩 증가하므로 1.4를 곱하는 것과 같습니다 500에 1.4를 곱하면 500의 40%이 200이므로 나뭇잎이 200개 늘어난 것과 같습니다 그러므로 2번째 해의 나뭇잎 개수는 700개입니다 3번째 해에도 역시 40% 증가하죠 700에 40%는 280이므로 3번째 해의 나뭇잎 개수는 980개입니다 이 수열은 확실히 등차수열(Arithmetic)은 아닙니다 등차수열에서는 더하거나 빼는 수가 일정해야 하는데 이 수열에서는 그 값이 일정하지 않기 때문이죠 500에서 700까지 200만큼 증가했지만 700에서 980까지는 280만큼 증가했습니다 대신 이 수열에서는 어떤 수를 곱하거나 나눠줬습니다 이 수열에서는 1.4씩 곱했어요 그러므로 이 수열은 확실히 등비수열입니다 위에서 선택한 수열에 따라 점화식은 아래와 같이 두 가지 형태로 나타납니다 이 문제의 답은 등비수열이므로 등차수열의 점화식은 볼 필요가 없겠죠 이제 점화식에서 A와 B를 구해 봅시다 점화식을 보면 f(n) = A는 n이 1일 때 성립합니다 n = 1일 때의 값은 아까 구했듯이 500입니다 그러므로 A는 500이 되겠네요 그렇다면 n > 1일 때는 어떻게 될까요? 이전 해의 나뭇잎 개수에서 40%씩 증가합니다 이는 1.4를 곱한 것과 같으므로 B는 1.4가 됩니다 첫해를 제외하고 그 해의 나뭇잎 개수를 구하려면 이전 해의 나뭇잎 개수에 1.4를 곱해야 하기 때문입니다 따라서 B는 1.4입니다 다른 문제를 풀어 봅시다 서윤이가 파티를 열었습니다 서윤이는 선물을 50개 준비해서 파티에 오는 사람에게 선물을 각각 3개씩 주려고 합니다 n은 양의 정수이며 n에 대한 식 g(n)은 파티에 n번째 손님이 도착하기 전에 서윤이에게 남아있는 선물의 개수를 나타냅니다 문제를 보기 전에 먼저 주어진 정보를 이용해 표를 만들어 봅시다 표의 왼쪽은 n이고 오른쪽은 g(n)이라고 합시다 n = 1일 때 g(1)은 파티에 첫 번째 손님이 오기 전에 서윤이에게 남아있는 선물의 개수를 나타냅니다 첫 번째 손님이 오기 전에 남아있는 선물의 개수는 50개였죠 n = 2일 때는 두 번째 손님이 오기 전에 남아있는 선물의 개수를 구해야겠죠 첫 번째 손님에게 선물을 3개 줘야 하므로 남은 선물의 개수는 47개가 됩니다 n = 3일 때는 세 번째 손님이 도착하기 전에 남아있는 선물의 개수를 구해야 합니다 첫 번째와 두 번째 손님에게 선물을 각각 3개씩 주었으므로 44장이 남았겠죠 규칙이 보이시나요? n = 1일 때 g(n)의 값은 50이고 n이 1씩 증가할 때마다 g(n)은 3씩 감소합니다 연속하는 항 사이의 차가 일정하므로 이 수열이 등차수열이라는 것을 알 수 있습니다 이제 이 수열의 n에 대한 식을 써 봅시다 g(n)은 50에서 시작해서 3씩 빼야 합니다 식으로 쓰면 어떻게 될까요? 첫 번째 손님이 왔을 때는 3을 0번 뺍니다 두 번째 손님이 왔을 때는 3을 한 번만 뺍니다 세 번째 손님이 왔을 때는 3을 두 번 뺍니다 그러므로 n번째 손님이 왔을 때는 3(n - 1)을 빼면 되겠죠 세 번째 손님이 왔을 때 3을 두 번 뺐고 두 번째 손님이 왔을 때 3을 한 번 뺐습니다 첫 번째 손님이 왔을 때 3을 0번 뺐으므로 옳은 식입니다 첫 번째 손님이 왔을 때 3을 0번 뺐으므로 g(1)은 50이 되겠죠 금방 구한 값과 같은 것을 확인할 수 있어요 따라서 n에 대한 식은 50 - 3(n - 1)입니다 이 식을 구할 때 n이 아니라 n - 1이라는 것을 주의해야 합니다