수열이란?

제가 이 비디오에서 하고자 하는 것은 우리들이 연속적인 숫자의 개념에 익숙해지게 하는 것입니다 그리고 모든 연속적인 숫자들은 정돈된 숫자들로 나열됩니다 그래서 예를 들어, 저는 유한한 연속적인 숫자들을 가질 수 있습니다 그것은 제가 무한한 숫자를 가지고 있지 않다는 것을 의미하고요 그래서 제가 1에서 시작한다면, 3을 더해나아갈 것이기 때문에 1 더하기 3은 4이고 4 더라기 3은 7, 7 더하기 3은 10 그리고 제가 이 네 개의 숫자들만 가지고 있다고 합시다 그래서 우리는 이것을 유한한 숫자들의 연속이라고 부를 것 입니다 저는 무한한 숫자들의 연속 역시 가질 수 있습니다 그래서, 무한한 숫자들의 연속의 예로는 우리는 3에서 시작해서 계속해서 4를 더해나아갈 것입니다 그래서, 3, 7, 11,15 그리고 당신은 똑같은 것을 항상 더할 필요는 없습니다 우리는 더 복잡한 연속적인 숫자들의 나열을 볼 것인데, 계속해서 똑같은 양을 더하는 연속적인 숫자들의 나열, 우리는 이것을 등차수열이라고 부릅니다 우리는 그것에 대해 더 자세히 알아 볼 것입니다 그러나 이것이 무한한지를 보기위해서, 우리는 이 패턴을 계속해서 지속해 나아갈 것인데, 저는 이를 점 세개로 표현하겠습니다 이것은 단순히 우리가 계속해서 이 패턴을 반복해 우리가 이것을 무한한 숫자들의 나열로 부를 수 있게 된다는 것입니다 지금, 여기에는 연속적인 숫자들을 나타내기에 복잡해 보이는 다양한 양의 다른 기호들이 있습니다 그러나 이것을 언급하기 전에, 저는 우리가 어떻게 연속적인 숫자들을 나타내는지 그리고 또한 어떻게 그것들을 정의할 수 있는지에 대해 편안해지기를 원합니다 그래서 우리는, 바로 여기에 있는 것이 연속적인 숫자이며, a 아래의 k로 나타내는 수열 , k는 1부터 4까지 지속되며, 바로 여기에 있는것과 같다는 것입니다 그래서 우리가 이러한 방법으로 보았을 때, 우리는 이 각각의 항들을 연속적인 숫자들의 나열로 나타낼 수가 있는데요 바로 여기에 있는 것이 첫 항이 될 것입니다 우리는 첫항을 a1으로 나타낼 수 있으며, 바로 여기 있는 것은 두번째 항이 될 것이고, 우리는 그것을 a2로 나타낼 수 있으며, 저는 당신이 이해했다고 생각합니다 세번째 항, 그리고 바로 여기에 있는 것은 네번째 항입니다 그래서 이것은 ak의 항에서 k가 1에서 부터 시작해서 첫항에서 네번째 항까지 이어진다는 것입니다 지금 저는 그것을 기호로 나타낼 수 있는데, 이러한 명백한 숫자들의 나열은, 저는 근본적으로 숫자들의 나열을 명백하게 정의합니다 함수 기수법의 한 종류 혹은 그와 비슷한 것을 사용해서 말이죠 그래서 동일한 숫자들의 나열을, 저는 그것을 ak항, 즉, k 가 1부터 4까지 지속되는 것으로 정의할 수 있습니다 여기처럼 숫자들을 명백하게 나열하는 것 대신에 저는 ak항이 k의 기능과 동일하다는 것을 말할 수 있습니다 그래서 무엇이 일어나는지 보면, k가 1일 때 우리는 1을 갖습니다 k가 2일 때, 우리는 4를 가지며, k가 3일때, 우리는 7을 갖습니다 그래서 k가 3일 때, 우리는 3을 두 번 더합니다 명백하게 하기 위해서지요 그래서 이것은 3을 더한 것이고, 바로 다음 것은 여기에 3을 더한 것이고 바로 여기에 있는 것은 또 3을 더한 것입니다 그래서 k 가 무엇이든지 간데, 우리는 1에서 시작해 k항 보다 하나 작은 횟수로 3을 더했습니다 그래서 우리는 이것이 1 더하기 (k-1)을 세번 더한 것 혹은 3 곱하기 k-1이라고도 나타낼 수 있을 것입니다 3 곱하기 k-1 그리고 당신은 이것이 작용된다는 것을 확인할 수 있는데 그래서 당신은 이것이 작용된다는 것을 확인할 수 있습니다 만약 k가 1과 같다면, 당신은 1-1인 0을 가지게 되어서 a1항은 1이 될 것이고, 만약 k가 2와 같다면, 당신은 1+3, 즉 4를 가지게 될 것입니다 만약 k가 3이라면, 당신은 3*2+1의 값인 7을 갖게될 것이고 이것은 작용합니다 그래서 이것이 함수기수법을 이용한 숫자들의 나열을 명백하게 정의하는 한 방법입니다 저는 이것을 명백히 하고 싶어서, 저는 근본적으로 함수기호로 정의해보았습니다 만약 제가 더 전형적인 함수 기수법을 원했다면 저는 ak항을 정의할 수 없거나 또는 k는 제가 관여할 수 없는 항이 될 것입니다 a(k)는 1+3(k-1)과 같습니다 이것은 본질적으로 함수가 허용될 수 있는 범위가 양의 정수로 제한되어 있다는 것을 알려줍니다 이제, 제가 이것을 나타내어 보자면 우리는 이것이 사람들이 사용하는 것처럼 a와 같다고 말할 수 있습니다 그렇지만 저는 bk항 혹은 다른 것으로 나타낼 것인데 a항으로 나타내겠습니다 ak항, 그리고 우리는 첫번째 항부터 시작할 것입니다 그래서 이것은 a1항이고, 이것은 a2항이며 무한대로 이어집니다 혹은 우리는 만약 우리가 함수로 명백히 정의하기를 원했다면 우리는 이 연속적인 수 들을 ak항으로 나타낼 수 있는데, k는 첫째항에서부터 무한대로 이어지며, ak 항은 3 부터 시작해서 우리는 4를 더하는데, 두번째 항보다 한 번 작은 4를 한번 더하고, 세 번째항으로 우리는 4를 두 번 더하고 네 번째항으로 우리는 4를 세번 더할 것입니다 그래서 우리는 항 수보다 한 번 적게 4를 더하게 됩니다 그래서 그것은 4 곱하기 k-1을 곱하는 것이 될 것입니다 4 곱하기 k-1, 그래서 이것은 무한한 연속적인 수들을 정의하는 다른 방법입니다 지금, 두 가지 경우 모두에서 그것을 명백한 함수로 정의했습니다 그래서 바로 여기에 있는 것은 명백합니다 이것은 명백한 함수입니다 이 함수를 어떻게 정의하는지 궁금해하는 것은 당연합니다 그것 또한 특히 이러한 것을 가지고 정의할 수 있으며, 등차수열처럼 그것을 재귀적으로 정의할 수 있습니다 그리고 저는 명백하기를 원합니다, 각 항이 명백한 함수로 정의될 수 없습니다 이처럼, 혹은 다른 재귀적 함수로 이 등차수열을 사용해 나타낼 수 있는데 계속해서 동일한 양을 더할 수 있습니다 이 첫번째 수의 나열을 다른 방법으로 정의할 수 있는데 ak항에서 k를 1과 동일하게 놓는 것 부터 시작해, 4까지 이어진다고 말할 수 있습니다 연속적인 수를 재귀적으로 정의할 때 첫째항을 정의하기를 원할 것이며 첫째항은 1과 같습니다 각각의 항들을 이전의 항을 대신해 표현할 수 있습니다 그래서 ak항 더하기, 혹은 제가 이 방법으로 써보죠 ak 항이 이전의 항과 같다 그래서 이것은 a(k-1)항이며, 그래서 주어진 항은 이전의 항과 같습니다 명백히 해보자면, 이것은 이전의 항이고, 이전의 항을 더하는데 이 경우에 각 항에 3을 더하게 됩니다 a1항을 정의해야하는데 k=2일 때 어떻게 되는지 묻는다면 우리는 a (2-1)항이 될 것이라고 말할 것입니다 그래서 그것은 a1항 더하기 3이 될 것입니다 우리는 a1항이 1이라는 것을 알기에, 이것은 1+3, 즉 4가 될 것입니다 a3항에 관해서는, a2항 더하기 3이 될 것입니다 a2항은, 우리가 4와 같다고 계산을 했기에, 당신은 3을 더해서 그것은 7이 될 것입니다 이것은 근본적으로 처음으로 연속적인 수를 나열할 때 제가 나는 첫 항부터 시작해서, 3에 연속적인 항들을 모두 더할거야. 라고 말할 때 사용하는 방법입니다 그래서 이것은 어떻게 나타낼 까요 다시 한번, ak항, k는 첫항부터 시작해 무한대 까지 이어지며, 현재 a1항은 3이 될 것이라고 쓸 수 있습니다 모든 연속적인 항은 ak이며, 이것은 이전의 항과 같이, a(k-1)항 더하기 4로 나타내어 질 수 있습니다 그리고 다시한번 당신은 3에서 시작하며, 당신이 두번째 항을 원한다면 그것은 첫 항 더하기 4가 될 것이며, 그것은 3+4가 될 것이고 이에따라 당신은 7을 가지고 계속해서 4를 더해서, 재귀적인 정의를 얻게 됩니다 우리는 기본적 경우에서 시작해서, 모든 항들을 이전의 항을 통해 정의하게 된 것입니다 혹은 함수의 항들을 다른 항들로 나타낸 것이죠