등차수열이란?

이번 동영상은 수열에 익숙해지도록 하기 위한 것입니다 이것은 등차수열입니다 이 수열들은 대체로 찾기 쉽습니다 왜냐하면 각 항이 이전 항보다 일정한 수만큼 큰 것으로 이루어졌기 때문입니다 이번 학습목표는 어떤 수열들이 등차수열인지 찾는 것입니다 그리고 수열의 표현법을 연습해 봅시다 수열을 정의하는 방법은 일반항의 함수를 이용하여 정의하는 방법과 순환적으로 정의하는 방법이 있습니다 우선, 주어진 등차수열은 각 항이 이전 항보다 일정한 수만큼 큽니다 이 중에 등차수열은 어떤 것일까요? 첫 수열을 보면 -5에서 -3으로가려면 2를 더해야되고 -3에서 -1로 가려면 2를 더해야하며 -1에서 1로 가려면 2를 더해야됩니다 그러면 이 수열이 분명히 등차수열인 것을 알 수 있습니다 매번 같은 값을 더해주기 때문입니다 수열을 정의할 수 있는 방법이 여러가지 있습니다 a 의 n번째 항 (항의 순서를 표기할 때 꼭 k를 안 써도 되기에 이번에는 n을 사용하겠습니다) n 이 1 에서 무한대로 갈 때 두 가지 방법으로 이 수열을 정의할 수 있습니다 함수로 표기할 수 있고 순환적으로도 정의할 수도 있습니다 일단 함수로 정의하고 싶다면 an = 첫째항으로 쓰고 이 경우에는 첫째항이 -5 이므로 -5 더하기 항의 순서보다 하나 작은 수만큼 2 를 더해 갑니다 그래서 둘째항에 2를 한 번만 더해주고 셋쨰항에는 2를 두번 더해줍니다 넷째항에는 2를 세 번 더해줍니다 이렇게 2를 더해갑니다 항의 순서보다 하나 작은 수만큼 2를 더해줘야 합니다 다시말해서 (n-1) 곱하기 2만큼 더해줘야 합니다 이것은 바로 이 등차수열의 함수적 정의입니다 이번엔 순환적으로 정의해 봅시다 첫재항은 -5 입니다 두번째 항부터는 계속되는 항들에서 n번 째항이 n-1번 째항 더하기 3과 같습니다 오타났네요, 3 이아니라 2입니다 더하기 2 이것은 n이 2와 크거나 같을때만 성립하게됩니다 이 두 방법은 여기 있는 식처럼 등차수열을 정의할 때 적합합니다 함수적으로도 표현할 수 있고 순환적으로 표현할 수 있습니다 자 이제 이 수열을 보도록 합시다 이 수열은 등차수열 일까요? 일단 100부터 시작했고 7을 더해 107에서 114, 계속 7을 더해주고 있습니다 114에서 121, 다시 7을 더해주었습니다 따라서 이것 또한 등차수열입니다 다시말하면, 이 수열은 등차수열이고 이것 역시 등차수열입니다 그리고 an 을 이용하여 나타내면 n은 1에서 무한대까지 가고 그리고 이 수열을 함수적으로 정의해준다면 100에다가 7을 매번 더해주면 됩니다 그리고 각 항은 두번째항에 7을 한번 더하고 셋째항은 7을 두번 더해주고 그러므로, n번째항은 7을 n-1번 더한 것입니다 그래서 이 식은 함수적 정의입니다 그리고 순환적으로도 나타낼수 있습니다 수열을 정의하는 또 다른 방법입니다 an 은 n은 1에서 무한대를 갈 때 두 식을 써주어야 합니다 만약 순환적으로 정의한다면 첫째항은 100 이고 두번째항부터는 an 은 이전 항에 7 을 더한 것과 같다 다 됐습니다 이것이 수열을 정의하는 또 다른 방법입니다 일반적으로 등차수열을 찾거나 정의하려고 한다면 등차수열을 an 의 형태를 가지는 식으로 나타낼 수 있습니다 물론 n 이 1에서 무한대로 갈 때 함수로 정의하고 하려고 한다면 an 은 첫번째 항에 해당되는 상수k 더하기 상수 k 더하기 어떤 숫자 d 일 것입니다 다시 말해서 이 어떤 숫자는 양수가 될 수 도 있고 음수가 될 수 있으며 이 숫자에 n-1 을 곱하여 첫번째 항에 더해준 것입니다 등차수열을 정의해주는 하나의 방법입니다 이 경우에는 d는 2였고 이 경우에는 d 는 7 이었습니다 매번 이만큼 더해주면 되는 것입니다 이 경우엔 k가 -5 이었고 이 경우엔 k가 100이었습니다 다른방법으로 등차수열을 순환적으로 정의한다면 첫째항은 k라고 하고 n째 항은 n-1째항에... 다시 말하면, 어느 항은 그 전의 항 더하기 d 가 됩니다 n은 2보다 크거나 같을 때입니다 함수적 그리고 순환으로 정의한 것입니다 그리고 이렇게 써주면 됩니다 이제 우리에게 남은 마지막 수열은 등차수열일까요? 한번 확인해봅시다 1 에서 시작합니다 2를 더하고 3을 더해줍니다 그러면 바로 이 수열은 당연히 등차수열이 아닌 것을 알 수 있습니다 이젠 4를 더해보도록 합시다 우리는 계속해서 다른 수를 더하고 있습니다 따라서, 일단 이 수열은 등차가 아닙니다 등차수열이 아니라는 결과가 나왔네요 그럼 이 수열을 어떻게 정의해야 될까요? 수열을 정의하려고 한다면 어떻게 하면 될까요 순환적으로 나타내어봅시다 그럼 이 수열은 n이 1에서 무한대로 갈 때 첫째항은 1이 되고 그리고 n이 2이상 일 때 n째항은 어떻게 될까요? 둘째항은 그 전항 더하기 2 셋째항은 그 전 항 더하기 3 넷째항은 그 전 항 더하기 4 그러면 수열은 그 전 항의 수 더하기 항의 순서를 더한 값과 같게 됩니다 비슷해 보이지만 더하는 숫자가 항의 순서에 따라 달라진다는것에 주의해야 합니다 그 전 항에 항의 순서를 더하고 있기 때문입니다 n이 2이상 일때 등차수열은 항상 같은 수를 항에 상관없이 더해 줘야합니다 하지만, 이 수열에서는 그 항의 순서 자체를 더해주고 있습니다 이것은 등차수열은 아니지만 흥미로운 수열이네요