If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

웹 필터가 올바르게 작동하지 않으면 도메인 *. kastatic.org*.kasandbox.org이 차단되어 있는지 확인하세요.

주요 내용

등차수열 공식이란?

등차수열의 일반항과 점화식의 기본 개념을 잘 알아 둡시다.
이 수업을 시작하기 전에, 등차수열의 기초에 대해 알아두어야 하며 함수의 계산함수의 정의역도 연습해 두어야 합니다.

등차수열의 공식이란?

등차수열은 다음과 같이 나타냅니다:
3,5,7,
하지만 등차수열을 나타내는 다른 방법도 있습니다. 이번 수업에서는, 등차수열을 점화식일반항 두 가지로 나타내는 방법을 배워 봅시다. 이 식을 이용하면 수열의 모든 항을 찾을 수 있습니다.
일반적으로 공식에서 n은 항의 순서를 나타내고, a(n)은 수열의 n번째 항을 나타냅니다. 예를 들어, 다음은 수열 3,5,7,의 항입니다.
na(n)
(번째)(n번째 항)
13
25
37
위와 같이 공식을 이용하면 수열의 어떠한 항이라도 찾을 수 있습니다. 바꿔 말하면 다음과 같습니다: 공식을 이용하여 n번째 항 a(n)을 찾을 수 있습니다.

이해했는지 확인하기

1) 수열 3,5,7,에서 a(4)를 구하세요.
a(4)=
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.

2) 임의의 n번째 수에 대해 a(n1)이 나타내는 것은 무엇일까요?
정답을 한 개 고르세요:

등차수열의 점화식

점화식에서 다음의 두 가지 정보를 알 수 있습니다:
  1. 수열의 첫째항
  2. 이전 항과의 관계에서 수열의 어떤 항이라도 구할 수 있는 규칙
다음은 수열 3,5,7,의 점화식의 각 부분에 대해 설명한 것입니다.
{a(1)=3첫째항은 3입니다.a(n)=a(n1)+2이전항에 2를 더합니다.
예를 들어, 다섯째항을 찾으려면 수열을 확장해야 합니다:
a(n)=a(n1)+2
a(1)=3
a(2)=a(1)+2=3+2=5
a(3)=a(2)+2=5+2=7
a(4)=a(3)+2=7+2=9
a(5)=a(4)+2=9+2=11
이 공식으로 3,5,7,과 같은 수열을 얻을 수 있습니다.

이해했는지 확인하기

이제 점화식을 사용하여 수열의 항을 직접 찾아 봅시다.
수열 3,5,7,에서 n번째 항을 a(n)으로 나타낸 것처럼, 다른 수열을 다른 글자로 나타낼 수 있습니다. 예를 들어, b(n), c(n), d(n)로 나타낼 수 있습니다.
3) 주어진 수열 {b(1)=5b(n)=b(n1)+9에서 b(4)를 구하세요.
b(4)=
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.

4) 주어진 수열 {c(1)=20c(n)=c(n1)17 에서 c(3)을 구하세요.
c(3)=
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.

5) 주어진 수열 {d(1)=2d(n)=d(n1)+0.4 에서 d(5)를 구하세요.
d(5)=
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.

등차수열의 일반항

다음은 3,5,7, 을 일반항으로 나타낸 것입니다.
a(n)=3+2(n1)
이 식에 구하려는 항의 순서를 대입하면, 그 항의 값을 구할 수 있습니다.
예를 들어, 다섯째항을 구하려면 n에 관한 식에 n=5를 대입해야 합니다.
a(5)=3+2(51)=3+24=3+8=11
아까와 같은 결과가 나왔습니다.

이해했는지 확인하기

6) 주어진 수열 b(n)=5+9(n1)에서 b(10)을 구하세요.
b(10)=
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.

7) 주어진 수열 c(n)=2017(n1)에서 c(8)을 구하세요.
c(8)=
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.

8) 주어진 수열 d(n)=2+0.4(n1)에서 d(21)을 구하세요.
d(21)=
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.

수열은 함수입니다

이번 강의에서 이용한 공식은 함수와 같습니다. n에 항의 번호를 대입하면, 항 a(n) 의 값을 얻을 수 있습니다.
수열은 함수라 정의할 수 있습니다. 하지만, 모든 실수가 n이 될 수는 없습니다. 수열에서 5번째 항이나 0.4번째 항은 없기 때문입니다.
이는 수열의 정의역, 즉 함수에 대입할 수 있는 모든 값의 집합은 양의 정수라는 것을 의미합니다.

표기법에 관한 주의사항

예를 들어, 4번째 항은 a(4)로 나타내지만 a4라고 쓰기도 합니다.
두 표기법 모두 사용할 수 있으며, 수열이 함수라는 것을 강조할 때는 a(4)라고 표기합니다.

복습문제

9) 다음 중 등차수열의 100번째 항을 빠르게 찾을 수 있는 공식은 무엇인가요?
정답을 한 개 고르세요:

심화문제

10) 등차수열의 일반항은 f(n)=34(n1) 입니다.
수열에서 65는 몇 번째 항인가요?
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.
번째 항.