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단원 1: 등차수열이란? (고등 수Ⅱ)

등차수열이란?

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수열과 등차수열이 무엇인지 배워 봅시다.

수업을 시작하기 전에, 음수의 덧셈과 뺄셈에 대해 확실히 알아두어야 합니다.

수열이란?

다음은 일정한 규칙으로 배열된 수의 나열입니다:

3, 5, 7 ...
21, 16, 11, 6 ...
1, 2, 4, 8 ...

이렇게 배열된 수의 나열은 수열이라고 하며, 각 수는 항이라고 합니다.

$3,$ ‍	$5,$ ‍	$7, …$ ‍
$↑$ ‍	$↑$ ‍	$↑$ ‍
‍ 첫째항	‍ 둘째항	‍ 셋째항

수열에는 다음 항을 구할 수 있는 규칙이 있습니다.

예를 들어, 수열 3, 5, 7...에서는 다음 항을 구하기 위해 2를 더해야 합니다:

	$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$5,$ ‍		$7, …$ ‍

항이 몇 개밖에 나와있지 않지만, 수열의 끝에 있는 점 세 개는 수열이 계속 확장된다는 것을 나타냅니다.

규칙을 이용해 다음 항을 구할 수 있습니다.

예를 들어, 수열의 넷째항은

9

가 될 것이고, 다섯째항은

11

이 될 것입니다.

	$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$5,$ ‍		$7,$ ‍		$9,$ ‍		$11, …$ ‍

이해했는지 확인하기

규칙에 따라 수열을 확장해 보세요.

연습문제 1

규칙: 이전 항에

5

를 더합니다.

	$+ 5 ↷$ ‍		$+ 5 ↷$ ‍		$+ 5 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$8,$ ‍		$13,$ ‍		정답은 정수(예: $6$ ‍) 형태로 나타내세요. 진분수를 기약분수(예: $3 / 5$ ‍) 형태로 나타내세요. 가분수(예: $7 / 4$ ‍) 형태로 나타내세요. 대분수(예: $1 3 / 4$ ‍) 형태로 나타내세요. 어림값이 아닌 정확한 소수(예: $0.75$ ‍)로 나타내세요. 파이의 배수(예: $12 pi$ ‍ 또는 $2 / 3 pi$ ‍) 형태로 나타내세요. $, …$ ‍

연습문제 2

규칙: 이전 항에서

3

을 뺍니다.

	$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍
$20,$ ‍		$17,$ ‍		$14,$ ‍		정답은 정수(예: $6$ ‍) 형태로 나타내세요. 진분수를 기약분수(예: $3 / 5$ ‍) 형태로 나타내세요. 가분수(예: $7 / 4$ ‍) 형태로 나타내세요. 대분수(예: $1 3 / 4$ ‍) 형태로 나타내세요. 어림값이 아닌 정확한 소수(예: $0.75$ ‍)로 나타내세요. 파이의 배수(예: $12 pi$ ‍ 또는 $2 / 3 pi$ ‍) 형태로 나타내세요. $, …$ ‍

연습문제 3

규칙: 이전 항에

2

를 곱합니다.

	$\times 2 ↷$ ‍		$\times 2 ↷$ ‍		$\times 2 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$6,$ ‍		$12,$ ‍		정답은 정수(예: $6$ ‍) 형태로 나타내세요. 진분수를 기약분수(예: $3 / 5$ ‍) 형태로 나타내세요. 가분수(예: $7 / 4$ ‍) 형태로 나타내세요. 대분수(예: $1 3 / 4$ ‍) 형태로 나타내세요. 어림값이 아닌 정확한 소수(예: $0.75$ ‍)로 나타내세요. 파이의 배수(예: $12 pi$ ‍ 또는 $2 / 3 pi$ ‍) 형태로 나타내세요. $, …$ ‍

	$+ 5 ↷$ ‍		$+ 5 ↷$ ‍		$+ 5 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$8,$ ‍		$13,$ ‍		$18, …$ ‍

	$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍
$20,$ ‍		$17,$ ‍		$14,$ ‍		$11, …$ ‍

	$\times 2 ↷$ ‍		$\times 2 ↷$ ‍		$\times 2 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$6,$ ‍		$12,$ ‍		$24, …$ ‍

연습문제 4

각 수열을 규칙에 알맞게 짝지어 보세요.

1

다음은 수열의 규칙을 나타낸 것입니다:

	$+ 7 ↷$ ‍		$+ 7 ↷$ ‍		$+ 7 ↷$ ‍
$4,$ ‍		$11,$ ‍		$18,$ ‍		$25, …$ ‍

	$\div 2 ↷$ ‍		$\div 2 ↷$ ‍		$\div 2 ↷$ ‍
$40,$ ‍		$20,$ ‍		$10,$ ‍		$5, …$ ‍

	$- 4 ↷$ ‍		$- 4 ↷$ ‍		$- 4 ↷$ ‍
$100,$ ‍		$96,$ ‍		$92,$ ‍		$88, …$ ‍

	$\times 3 ↷$ ‍		$\times 3 ↷$ ‍		$\times 3 ↷$ ‍
$4,$ ‍		$12,$ ‍		$36,$ ‍		$108, …$ ‍

등차수열이란?

위와 같은 예제에서 본 규칙처럼, 각 항에 일정한 수를 더하거나 빼서 다음 항을 구하는 수열을 등차수열이라고 합니다.

등차수열에서 연속되는 항들의 차는 일정합니다.

예를 들어, 수열 3, 5, 7, 9...는 연속하는 두 항의 차가 항상

2

이기 때문에 등차수열입니다.

	$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$5,$ ‍		$7,$ ‍		$9, …$ ‍

수열 21, 16, 11, 6...은 연속하는 두 항의 차가 항상 -5이기 때문에 등차수열입니다.

	$- 5 ↷$ ‍		$- 5 ↷$ ‍		$- 5 ↷$ ‍
$21,$ ‍		$16,$ ‍		$11,$ ‍		$6, …$ ‍

수열 1, 2, 4, 8 ...은 연속하는 두 항의 차가 일정하지 않기 때문에 등차수열이 아닙니다.

	$+ 1 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍		$+ 4 ↷$ ‍
$1,$ ‍		$2,$ ‍		$4,$ ‍		$8, …$ ‍

이해했는지 확인하기

연습문제 5

등차수열을 모두 고르세요.

다음은 연속하는 항 사이의 차를 나타낸 것입니다:

	$+ 4 ↷$ ‍		$+ 4 ↷$ ‍		$+ 4 ↷$ ‍
$11,$ ‍		$15,$ ‍		$19,$ ‍		$23, …$ ‍

수열에서 연속하는 항 사이의 차가 항상

4

이므로, 이것은 등차수열입니다.

	$+ 1 ↷$ ‍		$+ 2 ↷$ ‍		$+ 3 ↷$ ‍
$0,$ ‍		$1,$ ‍		$3,$ ‍		$6, …$ ‍

수열에서 연속하는 항 사이의 차가 일정하지 않으므로, 이것은 등차수열이 아닙니다.

	$+ 6 ↷$ ‍		$+ 18 ↷$ ‍		$+ 54 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$9,$ ‍		$27,$ ‍		$81, …$ ‍

수열에서 연속하는 항 사이의 차가 일정하지 않으므로, 이것은 등차수열이 아닙니다.

	$- 9 ↷$ ‍		$- 9 ↷$ ‍		$- 9 ↷$ ‍
$29,$ ‍		$20,$ ‍		$11,$ ‍		$2, …$ ‍

수열에서 연속하는 항 사이의 차가 항상

- 9

이므로, 이것은 등차수열입니다.

연습문제 6

수열의 첫째항은 $1$ ‍입니다. 이 수열이 등차수열이 되려면 다음 중 어떤 규칙이 필요할까요?

"이전 항에

4

를 더하세요"라는 규칙은 연속하는 두 항 사이의 차가 항상

4

라는 것을 의미합니다. 따라서 이 규칙은 등차수열의 규칙에 적합합니다.

	$+ 4 ↷$ ‍		$+ 4 ↷$ ‍		$+ 4 ↷$ ‍
$1,$ ‍		$5,$ ‍		$9,$ ‍		$13, …$ ‍

비슷한 방법으로, "이전 항에서

4

를 빼세요"라는 규칙은 연속하는 두 항 사이의 차가 항상

- 4

라는 것을 의미하는 등차수열의 규칙입니다.

	$- 4 ↷$ ‍		$- 4 ↷$ ‍		$- 4 ↷$ ‍
$1,$ ‍		$- 3,$ ‍		$- 7,$ ‍		$- 11, …$ ‍

이와 달리, "이전 항에

4

를 곱하세요"라는 규칙은 연속하는 두 항 사이의 차가 일정하지 않으므로 등차수열이 아닙니다.

	$+ 3 ↷$ ‍		$+ 12 ↷$ ‍		$+ 48 ↷$ ‍
$1,$ ‍		$4,$ ‍		$16,$ ‍		$64, …$ ‍

비슷한 이유로, "이전 항을

4

로 나누세요"라는 규칙 역시 등차수열이 아닙니다.

	$- \frac{3}{4} ↷$ ‍		$- \frac{3}{16} ↷$ ‍		$- \frac{3}{64} ↷$ ‍
$1,$ ‍		$\frac{1}{4},$ ‍		$\frac{1}{16},$ ‍		$\frac{1}{64}, …$ ‍

공차

등차수열에서 공차는 연속되는 항 사이의 일정한 차를 말합니다.

예를 들어,

10, 21, 32, 43, …

의 공차는

11

입니다:

	$+ 11 ↷$ ‍		$+ 11 ↷$ ‍		$+ 11 ↷$ ‍
$10,$ ‍		$21,$ ‍		$32,$ ‍		$43, …$ ‍

- 2, - 5, - 8, - 11 …

의 공차는

- 3

입니다:

	$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍
$- 2,$ ‍		$- 5,$ ‍		$- 8,$ ‍		$- 11, …$ ‍

이해했는지 확인하기

연습문제 7

$2, 8, 14, 20 …$ ‍의 공차는 무엇일까요?

	$+ 6 ↷$ ‍		$+ 6 ↷$ ‍		$+ 6 ↷$ ‍
$2,$ ‍		$8,$ ‍		$14,$ ‍		$20, …$ ‍

연습문제 8

$5, 2, - 1, - 4 …$ ‍의 공차는 무엇일까요?

	$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍		$- 3 ↷$ ‍
$5,$ ‍		$2,$ ‍		$- 1,$ ‍		$- 4, …$ ‍

문제 9

$1, 1 \frac{1}{3}, 1 \frac{2}{3}, 2, …$ ‍의 공차는 무엇일까요?

	$+ \frac{1}{3} ↷$ ‍		$+ \frac{1}{3} ↷$ ‍		$+ \frac{1}{3} ↷$ ‍
$1$ ‍		$1 \frac{1}{3},$ ‍		$1 \frac{2}{3},$ ‍		$2, …$ ‍

복습문제

공차가 음수인 등차수열에 대해 올바른 것을 고르세요.

공차가 음수라는 것은, 다음 항을 구하려면 이전 항에서 어떤 수를 빼야한다는 것을 의미합니다. 그러므로 수열의 항은 항상 감소합니다.

수열의 모든 항이 양수이거나 음수일 필요는 없습니다. 다음은 항에 음수와 양수가 함께 있지만, 공차는 음수인 등차수열입니다.

	$- 1 ↷$ ‍		$- 1 ↷$ ‍		$- 1 ↷$ ‍
$2,$ ‍		$1,$ ‍		$0,$ ‍		$- 1, …$ ‍

	$- 5 ↷$ ‍		$- 5 ↷$ ‍		$- 5 ↷$ ‍
$7,$ ‍		$2,$ ‍		$- 3,$ ‍		$- 8, …$ ‍

	$- 8 ↷$ ‍		$- 8 ↷$ ‍		$- 8 ↷$ ‍
$3,$ ‍		$- 5,$ ‍		$- 13,$ ‍		$- 21, …$ ‍

위의 수열들에서 항이 어떻게 감소하는지 알아두세요.

심화문제

등차수열의 첫째항은

10

이고, 공차는

- 7

입니다.

수열의 넷째항은 무엇일까요?

주어진 첫째항 10과 공차 -7을 이용해 수열을 넷째항까지 확장해 봅시다:

	$- 7 ↷$ ‍		$- 7 ↷$ ‍		$- 7 ↷$ ‍
$10,$ ‍		$3,$ ‍		$- 4,$ ‍		$- 11, …$ ‍

수열의 넷째항은 $- 11$ ‍입니다.

다음은 무엇인가요?

등차수열 공식에서는 수열의 항을 구하는 방법에 대해 배워 봅시다.

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