등비수열의 일반항과 점화식

자, 여기에 있는 표에서는 여러개의 n의 값에 대한 n이 1, 2, 3, 4, 일때 g(n)의 값이 어떻게 되는지를 나타내고 있습니다 이 함수에 대해서 생각할 수 있는 방법 중 하나는 함수 g 가 n 의 값에 대한 수열 이라고 생각해도 된다는 것입니다 예를 들어, 이 수열의 첫째 항은 168 두번쨰 항은 84, 3번쨰 항은 42 4번째 항은 21 이고 다음 항들도 계속해서 있을 겁니다. 지금부터는, 이 수열이 어떤 수열인지에 대해 생각해 봅시다. 첫째 항을 168이라 한다면, 다음 항이 84가 되기 위해서는 어떻게 해야 할까요? 음, 84를 빼도 될 거고 다른 방법을 생각해 보자면 2를 나누어도 될 것입니다. 1/2을 곱합니다. 이번엔 84에서 42로 가니까 또 다시 1/2를 곱하면 될 것입니다. 1/2를 곱합니다 42에서 21로 갈때도 1/2를 곱하니까 이 수열은 등비 수열이라는 것을 알 수 있습니다. 그러면, 첫째 항으로 부터 바로 다음 항, 또는, 어떤 항에서 그 다음 항으로 가려면 공비인 1/2를 곱해주면 됩니다. 그러면, 우리는 함수 g(n)을 n에 대한 식으로 어떻게 나타낼 수 있을까요? 비디오를 잠깐 정지하고 직접 시도를 해보셨으면 좋겠습니다 g(n)을 168에서 시작하고 다음 항으로 갈 때마다 1/2를 곱해주는 함수라고 생각해 봅시다 음, 168에서 시작해서 1/2를 곱하고 몇번인지는 모르겠지만 1/2를 여러번 곱합니다 그러면, 지수부분에 1/2를 몇번을 곱하는 지를 써 줄 수 있습니다 그러면, 1/2를 몇번이나 곱할까요? 첫번째 , 1을 넣었을 때의 값에서는 한번도 곱하지 않았고 2번째 항, 2를 넣었을 때의 값에서는 1번을 곱하고, 3번째 항, 3을 넣었을 때의 값에서는 2번을 곱하고 4번째 항에서는 3번을 곱했으니까 이제 괄호 안의 값에 무엇이 들어 갈지는 추측 할 수 있을 겁니다. 1/2를 n-1번 곱하면 되겠죠? 이 함수가 조건을 성립한다는 것도 확인 해 볼 수도 있습니다. n=1이면, 1-1이 0이므로 1/2을 0번 곱해주면 g(1)의 값이 168이라는 것을 알 수 있습니다 만약에 n=2라면, 2-1은 1이니까 1/2를 한번 곱해 주고, n=3이면 2번을 곱해 주겠죠? 3-1은 2니까 n=3이면 1/2를 2번 곱해 줍니다. 이 식은 이 등비수열을 명확히 표현합니다. 다른 방법으로도 생각해보자면, g(n)은 168을 쓰고 이것을 2^n-1 으로 나눈 것으로도 표현할 수 있습니다 또 다른 가능한 방법은, 지수를 살짝 바꾸어서 활용하는 것입니다. g(n)의 식에서 1/2의 n-1제곱 이었던 이 값을 다른 색으로 쓰겠습니다 네, 이 부분은 1/2의 n제곱과 1/2의 -1제곱으로 분리해도 같은 값입니다 1/2의 -1제곱은 2이므로 2를 곱해주면 이 식을 다시 표현할 수 있습니다. 168*2는 뭐죠? 336인가요? 계산이 맞나요? 160*2는 320이고 16을 더하니까 336, 맞습니다 이제 336에 1/2의 n제곱을 곱한것 이렇게 쓸 수 있습니다 이 식들은 모두 동일한 식입니다. 이 식이 조금 더 직관적으로 보일 수 있습니다 첫째 항이 168에서 시작 하고 1/2를 계속해서 곱해준다는 것을 한눈에 알 수 있긴 합니다 하지만 이 식은 이 식과도 대수적으로는 같은 것입니다. 그런데, g(n)을 귀납적으로도 정의할 수있을까요? 비디오를 멈추고 시도 해 보셨으면 좋겠습니다 많은 방법 중에 귀납적으로 정의 하는 방법은 조금 더 간단하니까, 시도 해 봅시다 g(n), 재귀 함수를 다른걸로 써볼까요? 음, 이 표에 다른 게 없으니까 g(n)을 그냥 그대로 쓰도록 하겠습니다 g(n)이 n=1일때, 168에서 시작합니다 그리고 n이 1보다 크면, 모든 수에 대해서, 그러니까 이 식은 모든 양의 정수에 대해 정의 될 것입니다 이제 무엇을 해야 할까요? 음, 우리는 1/2를 곱할 텐데 바로 그 전 항에다가 곱할 것입니다 그러면 여기는 1/2 곱하기 g(n-1)이 됩니다 한번 확인해 볼까요? 만약에 n=1이면, 여기대로 168이 됩니다 g(2)는 g(1)에 1/2을 곱한 거니까 당연히 168에다가 곱하겠죠? 168에 1/2를 곱하면 84이며, g(3)은 바로 전 항인 g(2)에 1/2를 또 곱한 값이 됩니다 g(3)은 바로 전 항인 g(2)에 1/2를 또 곱한 값이 됩니다 이것이 우리가 정의한 방법입니다 이것이 우리가 정의한 방법입니다 수열을 재귀적으로 정의한 것입니다