등차수열의 일반항

n에 대한 이 표를 보면, n = 1일 때 f(n)은 12이고 n = 2일 때 f(n)은 5입니다 n = 3일 때 f(n)은 -2이고 n = 4일 때 f(n)은 -9가 되네요 그래서 우리는 함수 f가 어떠한 수열을 정의한다고 생각해볼 수 있습니다 이 수열의 첫 번째 항은 12이고 두 번째 항은 5입니다 세 번째 항은 -2, 네 번째 항은 -9, 이런 식으로 진행됩니다 여러분은 이것이 등차수열이라는 것을 알아채셨을 겁니다 12로 시작해서 다음 항이 될 때 무엇이 바뀌었나요? 7이 빠졌죠 두 번째에서 세 번째로 갈 때는 또 7을 뺍니다 이렇게, 각 항은 이전 항보다 7 작습니다 그러면 이제 f(n)을 n에 대한 식으로 정의할 수 있는지 알아봅시다 즉 함수식을 찾아내는 것입니다 f(n)을 구해봅시다 우리가 구할 함수식은 n을 넣었을 때 적당한 f(n) 값이 나와야 합니다 먼저 이렇게 생각해봅시다 수열이 12부터 시작하니까 여기에 12를 써볼 수 있습니다 하지만 우리는 7을 빼야 합니다 그런데, 7을 어떻게 빼야 할까요? 몇 번이나 뺄까요? 첫 번째 항에서는 7을 0번 뺍니다 그러면 12를 얻게 됩니다 두 번째 항에서는 7을 1번 뺍니다 세 번째 항에서는 7을 2번, 네 번째 항에서는 7을 3번 뺍니다 그러면 어떤 항에서든지 7(n-1)이 빠지는 것 같습니다 어떤 항에서든지 7에 (n-1)배를 하는 것입니다 그래서 (n-1)번이 됩니다 이 식이 맞는지 확인해 봅시다 f(1)은 12에서 7을 (1-1)번만큼, 그러니까 0번 빼는 것입니다 그러면 12가 되겠네요 f(2)는 12에서 7을 (2-1)번 뺍니다 그러면 12-7×1 이 됩니다 7을 한 번만 빼는 것입니다 표와 정확히 같습니다 12에서 시작해서 7을 한 번 빼니까요 f(3)에 대해서도 계속 확인해볼 수 있습니다 12에서 7을 두 번 빼야 하겠네요 3에서 1을 빼니까 두 번이죠 7을 두 번 빼겠습니다 그러니까 이 식은 정확합니다 함수를 정확하게 정의했네요 우리는 함수 f 를 이 수열에 맞게 정의했습니다 다른 문제도 보겠습니다 이 경우에, 우리에게는 이미 몇 가지 함수식이 주어져 있습니다 수열이 주어져 있고 이 표에 나타나 있습니다 첫 번째 항은 -100이고 다음 항은 -50, 그 다음은 0 그 다음은 50 입니다 이것 또한 등차수열이라는 것이 굉장히 명백합니다 -100에서 시작해서 50을 더합니다 그리고 50을 더하고 또 50을 더합니다 그러니까 각 항은 이전 항에 50씩 더해집니다 영상을 잠시 멈추고 이 함수식들 중 어떤 것이 옳은지 찾아보시길 바랍니다 답이 하나 이상일 수도 있습니다 한 번 생각해 봅시다 여기에 있는 이 식은 이 함수를 생각하는 한 가지 방법인데요, -100에서 시작해서 50을 (n-1)번 더했다고 생각하는 것입니다 이 함수식이 맞나요? 첫 번째 항에서 우리는 -100으로 시작했습니다 전혀 50을 더할 필요가 없기 때문에, 50×0을 더했다고 하면 되겠네요 1에서 1을 빼면 0이기 때문입니다 그래서 n = 1일 때 성립합니다 n = 2 일 때를 볼까요, -100에서 시작해서 50을 한 번 더합니다 그러니 (n-1)은 1이 되야 하겠네요 2-1입니다 1이 맞네요 우리는 n이 어떤 숫자이든 간에, 정확히 (n-1)번만큼 50을 더하는 것입니다 그러니 여기서는 50을 두 번 더하는 것이고, n = 4일 때는, 50을 세 번 더합니다 이 식은 성립하네요 n = 4일 때, 50에다가 (4-1)을, 즉 3을 곱해서 더하게 됩니다 그래서 -100+50×3이 됩니다 왼쪽에서 50을 세 번 더해 보면 하나, 둘, 세 번입니다 그러면 50이 나옵니다 이것도 맞네요 여기 이 식을 봅시다 -150 더하기 50n 입니다 한 번 볼까요? 제가 표를 그려보겠습니다 제가 표를 그려보겠습니다 여기에 n과 f(n)이 있습니다 함숫값이 여기에 들어갈거에요 n = 1이면 -150+50이 되어 -100이 나옵니다 식이 성립하네요 n = 2일 때, -150에서 50×2를 더해주면 -150에 100을 더하는 거니까 -50이 되겠네요 n = 3일 때도 물론 식이 성립합니다 n = 3이면 -150에서 50×3을 더하면 0이 됩니다 이것도 확인되었습니다 이 식도 성립하게 되네요 그러면 여러분은 아마 이렇게 말하겠죠 "세 공식이 다 다르게 생겼는데요" 하지만 이 식들을 계산해보면 서로 같다는 것을 알 수 있을 겁니다 이 첫 번째 식을 보면 -100이 있고, 50을 괄호 안에 넣으면 +50n-50 입니다 그러면 -100 -50은 -150이 되죠 그리고 50n이 있습니다 그러므로 이 둘은 대수적으로 정확히 같은 함수식입니다 그렇다면 이 식은 어떨까요? -100+50n 입니다 이 식이 성립하나요? 한 번 봅시다 n = 1일 때, -100+50 입니다 그러면 -50이 되네요 식이 성립하지 않습니다 여기에서 -100이 나와야 합니다 따라서 이 식은 옳지 않습니다