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대수학 1

코스: 대수학 1 > 단원 9

단원 2: 등차수열의 식 세우기 (고등 수Ⅱ)
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등차수열의 식 세우기 (고등 수Ⅱ)
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등차수열의 일반항

구글 클래스룸
등차수열의 일반항을 어떻게 구하는지 배워 봅시다. 예로 3, 5, 7의 일반항을 구해 봅시다.
수업을 시작하기 전에, 등차수열 공식의 기초에 대해서 잘 알고 있어야 합니다.

a(n)을 n으로 나타낸 식으로 계산하기

다음은 수열 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point을 a(n) 에 대하여 n으로 나타낸 식입니다.
a, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 3, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis
이 식에서, n은 항의 번호이고 a, left parenthesis, n, right parenthesis은 n, start superscript, start text, end text, end superscript번째 항입니다.
이 식에 구하려는 항, n 번째를 대입하면, 그 항에 해당하는 값을 구할 수 있습니다.
예를 들어, 다섯째항을 구하려면 n에 관한 식에 n, equals, 5를 대입해야 합니다.
a(5)=3+2(5−1)=3+2⋅4=3+8=11\begin{aligned}a(\greenE 5)&=3+2(\greenE 5-1)\\\\ &=3+2\cdot4\\\\ &=3+8\\\\ &=11\end{aligned}
이것은 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point의 다섯 번째 항입니다.

이해했는지 확인하기

1) 주어진 수열 b, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 5, plus, 9, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis 에서 b, left parenthesis, 10, right parenthesis 을 구하세요.
b, left parenthesis, 10, right parenthesis, equals
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 진분수를 기약분수(예: 3, slash, 5) 형태로 나타내세요.
  • 가분수(예: 7, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1, space, 3, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0, point, 75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12, space, start text, p, i, end text 또는 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text) 형태로 나타내세요.

일반항 만들기

등차수열 5, comma, 8, comma, 11, comma, point, point, point이 있습니다. 이 수열의 첫째항은 start color #0d923f, 5, end color #0d923f이고, 공차는 start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6입니다.
수열에서 첫째항 start color #0d923f, 5, end color #0d923f를 구하고, 공차 start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6를 계속 더해주면 임의의 항을 구할 수 있습니다. 예를 들어, 처음 몇 개의 항을 계산한 아래의 표를 살펴봅시다.
nn, start superscript, start text, end text, end superscript번째 항 계산
1start color #0d923f, 5, end color #0d923fequals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 0, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 5
2start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 1, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 8
3start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 2, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 11
4start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 3, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 14
5start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, plus, 3, plus, 3, plus, 3, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, plus, 4, dot, start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6, equals, 17
표를 보면 n, start superscript, start text, end text, end superscript번째 항은 (n은 임의의 항의 번호) 첫째항 start color #0d923f, 5, end color #0d923f에 공차 start color #ed5fa6, 3, end color #ed5fa6을 반복적으로 n, minus, 1번 더해서 구할 수 있습니다. 이를 식으로 표현하면 start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 3, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis 입니다.
일반적으로, 등차수열의 n에 대한 식은 첫째항이 start color #0d923f, A, end color #0d923f, 공차가 start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6 입니다:
start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis

이해했는지 확인하기

2) 수열 2, comma, 9, comma, 16, comma, point, point, point 을 n에 대한 식으로 써 보세요.
d, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

3) 수열 9, comma, 5, comma, 1, comma, point, point, point 을 n에 대한 식으로 써 보세요.
e, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

4) 수열의 n에 대한 식은 f, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 6, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis 입니다.
이 수열의 첫째항은 무엇인가요?
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 진분수를 기약분수(예: 3, slash, 5) 형태로 나타내세요.
  • 가분수(예: 7, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1, space, 3, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0, point, 75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12, space, start text, p, i, end text 또는 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text) 형태로 나타내세요.
이 수열의 공차는 무엇인가요?
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 진분수를 기약분수(예: 3, slash, 5) 형태로 나타내세요.
  • 가분수(예: 7, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1, space, 3, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0, point, 75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12, space, start text, p, i, end text 또는 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text) 형태로 나타내세요.

다양한 형태의 n에 대한 식으로 나타내기

f(n) 을 n으로 나타낼 때 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.
예를 들어, 다음은 모두 수열 3, comma, 5, comma, 7, comma, point, point, point을 f(n)에 대하여 n으로 나타낸 식입니다.
  • 3, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis (일반형)
  • 1, plus, 2, n
  • 5, plus, 2, left parenthesis, n, minus, 2, right parenthesis
모두 달라 보이지만, 각각의 식에 n을 대입하면 올바른 n, start superscript, start text, end text, end superscript번째 항을 얻을 수 있습니다. (다른 식도 맞는지 직접 대입해 보세요!).
이처럼 하나의 수열에 대해 n에 대한 다양한 형태의 식으로 나타낼 수 있습니다.

일반적인 오해

등차수열은 여러 가지 형태로 나타낼 수 있지만, 그 중에 일반형으로만 첫째항과 공차를 구할 수 있습니다.
예를 들어, 수열 2, comma, 8, comma, 14, comma, point, point, point의 첫째항은 start color #0d923f, 2, end color #0d923f이고, 공차는 start color #ed5fa6, 6, end color #ed5fa6입니다.
start color #0d923f, 2, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 6, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis은 이 수열을 나타내지만, start color #0d923f, 2, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 6, end color #ed5fa6, n은 다른 수열을 나타냅니다.
2, plus, 6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis를 A, plus, B, n형태의 식으로 바꾸기 위해, 괄호를 전개해서 식을 간단히 해 봅시다:
=2+6(n−1)=2+6n−6=−4+6n\begin{aligned}&\phantom{=}2+6(n-1)\\\\ &=2+6n-6\\\\ &=-4+6n\end{aligned}
어떤 사람들은 2, plus, 6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis 형태보다 minus, 4, plus, 6, n 형태가 더 간단하기 때문에 이 형태를 선호할 수도 있습니다. 더 긴 식의 좋은 점은 첫째항을 구할 수 있다는 것입니다.

이해했는지 확인하기

5) 수열 12, comma, 7, comma, 2, comma, point, point, point 을 n에 대한 식으로 올바르게 나타낸 것을 모두 고르세요.
해당하는 답을 모두 고르세요:

심화문제

6*) 등차수열 199, comma, 196, comma, 193, comma, point, point, point에서 124, start superscript, start text, end text, end superscript번째 항을 구하세요.
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 진분수를 기약분수(예: 3, slash, 5) 형태로 나타내세요.
  • 가분수(예: 7, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1, space, 3, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0, point, 75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12, space, start text, p, i, end text 또는 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text) 형태로 나타내세요.

7*) 등차수열의 첫째항은 5 이고, 열 번째 항은 59 입니다.
공차는 무엇인가요?
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 진분수를 기약분수(예: 3, slash, 5) 형태로 나타내세요.
  • 가분수(예: 7, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1, space, 3, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0, point, 75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12, space, start text, p, i, end text 또는 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text) 형태로 나타내세요.

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