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대수학 1

코스: 대수학 1 > 단원 9

단원 2: 등차수열의 식 세우기 (고등 수Ⅱ)
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수열
등차수열의 식 세우기 (고등 수Ⅱ)
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등차수열의 점화식과 일반항 변환하기

구글 클래스룸
등차수열의 점화식과 일반항의 변환하는 방법에 대해 배워 봅시다.
수업을 시작하기 전에, 등차수열의 점화식과 일반항을 구하는 방법을 확실하게 알아두어야 합니다.

점화식을 일반항으로 변환하기

다음은 등차수열의 점화식입니다.
{a(1)=3a(n)=a(n−1)+2\begin{cases} a(1)=\greenE 3 \\\\ a(n)=a(n-1)\maroonC{+2} \end{cases}
이 점화식에서 다음의 두 가지 정보를 알 수 있습니다:
  • 첫째항은 start color #0d923f, 3, end color #0d923f 입니다
  • 이전 항을 구하려면 start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6를 더합니다. 다시 말해서, 공차는 start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6입니다.
수열의 일반항을 구해 봅시다.
수열의 첫째항은 start color #0d923f, A, end color #0d923f이고, 공차가 start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6일 때, 일반항은 start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis입니다.
따라서, 수열의 일반항은 a, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 3, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 2, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis입니다.

이해했는지 확인하기

1) 수열을 n에 대한 식으로 써 봅시다.
{b(1)=−22b(n)=b(n−1)+7\begin{cases} b(1)=-22 \\\\ b(n)=b(n-1)+7 \end{cases}
b, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

2) 수열을 n에 대한 식으로 써 봅시다.
{c(1)=8c(n)=c(n−1)−13\begin{cases} c(1)=8 \\\\ c(n)=c(n-1)-13 \end{cases}
c, left parenthesis, n, right parenthesis, equals

일반항을 점화식으로 변환하기

예제 1: 일반형으로 주어진 식

다음은 수열의 일반항입니다.
d, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, start color #0d923f, 5, end color #0d923f, start color #ed5fa6, plus, 16, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis
일반항이 start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis일 때, 첫째항은 start color #0d923f, A, end color #0d923f이고, 공차는 start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6입니다. 위 식은 이 일반항에 근거합니다. 따라서,
  • 수열의 첫째항은 start color #0d923f, 5, end color #0d923f 이고,
  • 공차는 start color #ed5fa6, 16, end color #ed5fa6 입니다.
수열의 점화식을 구해 봅시다. 점화식에서는 두 가지 정보를 얻을 수 있습니다:
  1. 첫째항 left parenthesisstart color #0d923f, 5, end color #0d923f, right parenthesis
  2. 바로 앞의 항과의 관계에서 임의의 항을 구할 수 있는 규칙left parenthesis"start color #ed5fa6, 16, end color #ed5fa6을 더하세요."right parenthesis
따라서 수열의 점화식은 다음과 같습니다.
{d(1)=5d(n)=d(n−1)+16\begin{cases} d(1)=\greenE 5\\\\ d(n)=d(n-1)\maroonC{+16} \end{cases}

예제 2: 단순형으로 주어진 식

다음은 수열의 일반항입니다.
e, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 10, plus, 2, n
이 식은 표준적인 일반항 start color #0d923f, A, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, B, end color #ed5fa6, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis에 근거하지 않습니다.
그렇기 때문에, 단순히 일반항 구조를 사용해서 첫째항과 공차를 구할 수 없습니다. 대신, 처음 두 항을 구할 수 있습니다:
  • e, left parenthesis, start color #11accd, 1, end color #11accd, right parenthesis, equals, 10, plus, 2, dot, start color #11accd, 1, end color #11accd, equals, 12
  • e, left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis, equals, 10, plus, 2, dot, start color #11accd, 2, end color #11accd, equals, 14
첫째항은 start color #0d923f, 12, end color #0d923f 이고, 공차는 start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 입니다.
따라서 수열의 점화식은 다음과 같습니다.
{e(1)=12e(n)=e(n−1)+2\begin{cases} e(1)=\greenE{12}\\\\ e(n)=e(n-1)\maroonC{+2} \end{cases}

이해했는지 확인하기

3) 등차수열의 n에 대한 식은 f, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 5, plus, 12, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis입니다.
수열의 점화식을 완성해 봅시다.
{f(1)=Af(n)=f(n−1)+B\begin{cases} f(1)=A\\\\ f(n)=f(n-1)+B \end{cases}
A, equals
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 진분수를 기약분수(예: 3, slash, 5) 형태로 나타내세요.
  • 가분수(예: 7, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1, space, 3, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0, point, 75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12, space, start text, p, i, end text 또는 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text) 형태로 나타내세요.
B, equals
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 진분수를 기약분수(예: 3, slash, 5) 형태로 나타내세요.
  • 가분수(예: 7, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1, space, 3, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0, point, 75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12, space, start text, p, i, end text 또는 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text) 형태로 나타내세요.

4) 등차수열의 n에 대한 식은 g, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, minus, 11, minus, 8, left parenthesis, n, minus, 1, right parenthesis입니다.
수열의 점화식을 완성해 봅시다.
{g(1)=Ag(n)=g(n−1)+B\begin{cases} g(1)=A\\\\ g(n)=g(n-1)+B \end{cases}
A, equals
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 진분수를 기약분수(예: 3, slash, 5) 형태로 나타내세요.
  • 가분수(예: 7, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1, space, 3, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0, point, 75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12, space, start text, p, i, end text 또는 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text) 형태로 나타내세요.
B, equals
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 진분수를 기약분수(예: 3, slash, 5) 형태로 나타내세요.
  • 가분수(예: 7, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1, space, 3, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0, point, 75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12, space, start text, p, i, end text 또는 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text) 형태로 나타내세요.

5) 등차수열의 n에 대한 식은 h, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 1, plus, 4, n입니다.
수열의 점화식을 완성해 봅시다.
{h(1)=Ah(n)=h(n−1)+B\begin{cases} h(1)=A\\\\ h(n)=h(n-1)+B \end{cases}
A, equals
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 진분수를 기약분수(예: 3, slash, 5) 형태로 나타내세요.
  • 가분수(예: 7, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1, space, 3, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0, point, 75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12, space, start text, p, i, end text 또는 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text) 형태로 나타내세요.
B, equals
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 진분수를 기약분수(예: 3, slash, 5) 형태로 나타내세요.
  • 가분수(예: 7, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1, space, 3, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0, point, 75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12, space, start text, p, i, end text 또는 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text) 형태로 나타내세요.

6) 등차수열의 n에 대한 식은 i, left parenthesis, n, right parenthesis, equals, 23, minus, 6, n입니다.
수열의 점화식을 완성해 봅시다.
{i(1)=Ai(n)=i(n−1)+B\begin{cases} i(1)=A\\\\ i(n)=i(n-1)+B \end{cases}
A, equals
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 진분수를 기약분수(예: 3, slash, 5) 형태로 나타내세요.
  • 가분수(예: 7, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1, space, 3, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0, point, 75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12, space, start text, p, i, end text 또는 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text) 형태로 나타내세요.
B, equals
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 진분수를 기약분수(예: 3, slash, 5) 형태로 나타내세요.
  • 가분수(예: 7, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1, space, 3, slash, 4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0, point, 75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12, space, start text, p, i, end text 또는 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text) 형태로 나타내세요.

심화문제

7*) 등차수열 101, comma, 114, comma, 127, comma, point, point, point 을 올바르게 표현한 식을 모두 고르세요.
해당하는 답을 모두 고르세요:

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