제곱근이란? (중등 3학년)

칠판에 멋진 수식을 적는 영화 장면을 봤다면 ㅎ이런 기호를 봤을 거예요 항상 이런 기호를 봤을 거예요 이것은 근호라고 하며 제곱근을 구하는데 사용됩니다 그러면 이것이 실제로 의미하는 것은 무엇일까요? 지수를 이미 알고 있으므로 제곱근을 이해하는 것은 그렇게 어렵지 않을 거예요 예제를 한번 살펴봅시다 3을 제곱하면 어떻게 될까요? 3의 제곱은 3 곱하기 3과 같으며 이는 9와 같습니다 반대로 생각해 볼까요? 어떤 수를 제곱해야 9가 될까요? 이를 나타내려면 어떤 기호를 사용할 수 있을까요? 이미 알고 있는 것처럼 근호를 사용합니다 그렇다면 제곱근 9는 이렇게 쓸 수 있을 거예요 어떤 수를 제곱해야 9가 될까요? 제곱근 9는 3입니다 이제 이 두 개의 등식을 잘 살펴봅시다 이것이 제곱근의 기초에요 제곱근 9는 제곱했을 때 9가 되는 수를 나타냅니다 그 수는 3이 되겠죠 그리고 3의 제곱은 9와 같습니다 다른 수도 살펴볼까요? 4² = 16일 때 제곱근 16은 무엇일까요? 4가 되겠죠 이번에는 제곱근으로 시작해 봅시다 제곱근 25는 무엇일까요? 그 수는 자신을 제곱했을 때 25가 되는 수입니다 그 수는 바로 5에요 5² = 25이기 때문이죠 여기서 의구심이 드는 부분이 있을 거예요 만약 -3을 제곱한다면 그 결과도 역시 9가 됩니다 그리고 -4를 제곱했을 때도 16이 되며 그리고 -5를 제곱해도 25를 얻을 수 있습니다 그렇다면 제곱근은 왜 ±3이 될 수 없을까요? 그 이유에 대해 알아봅시다 이렇게 생긴 근호를 보면 이를 보통 양의 제곱근 (Principal square root)이라고 합니다 또는 양수인 제곱근이라고 하기도 해요 만약 -√9를 구하려고 한다면 이를 음의 제곱근 9라고 할 것이고 그것은 -3이 될 것입니다 그렇다면 이 식의 양변을 각각 제곱하면 어떻게 될까요? 음의 기호를 제곱하면 양의 기호가 되고 제곱근 9의 제곱은 9가 될 것입니다 그 다음 오른쪽에는 (-3)² = -3 × -3 = 9가 됩니다 9는 9와 같죠 이를 좀 더 대수학적으로 적어 볼게요 만약 9의 양의 제곱근이 x와 같다고 쓴다면 이는 오직 하나의 x만을 가집니다 왜냐하면 대부분의 수학자들이 표준 협약을 통해서 이 근호를 양의 제곱근으로 보기로 동의했기 때문입니다 그래서 x를 만족하는 수는 오직 하나만 존재하며 이때 x는 3입니다 하지만 x² = 9는 조금 다릅니다 x = 3은 당연히 이를 만족하겠죠 하지만 이를 만족하는 또다른 x가 있을 수도 있어요 -3도 x가 될 수 있습니다 -3의 제곱 또한 9가 되기 때문이죠 아래의 식에서 x를 만족하는 값은 두 개이며 위의 식에서 x를 만족하는 값은 오직 한 개이지만 두 수식은 같습니다 왜냐하면 이는 양의 제곱근을 표현하고 있기 때문입니다 x를 만족하는 값이 두 개가 되도록 쓰고 싶다면 ±√9 = x 라고 쓸 수 있습니다 그러면 x값은 3 또는 -3이 될 수 있습니다