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코스: 대수학 1 > 단원 13

단원 4: 인수분해란?

인수와 나누어 떨어짐이란?

다항식이 다른 다항식의 인수이거나, 다른 다항식으로 나누어떨어진다는 것에 대해 배워 봅시다

이 단원을 시작하기 전에 알아야 할 것

단항식은

3 x^{2}

처럼 음이 아닌 정수를 지수로 가진

x

와 상수를 곱한 것입니다. 다항식은

3 x^{2} + 6 x - 1

과 같은 단항식들의 합입니다.

이번 단원에서 배우는 것

이번 단원에서는 다항식에서 인수와 나누어떨어짐의 관계, 그리고 다항식이 다른 다항식의 인수인지 알아보는 방법을 배우게 됩니다.

정수인 인수와 나누어떨어짐

일반적으로, 두 정수를 곱하면 나오는 수는 그 두 정수를 인수로 가집니다.

예를 들어, $14 = 2 \cdot 7$ ‍ 이기 때문에 $2$ ‍ 와 $7$ ‍ 은 $14$ ‍ 의 인수입니다.

어떤 수를 다른 수로 나눈 값이 정수일 때, 그 어떤 수는 다른 수로 나누어떨어진다라고 합니다.

예를 들어, $\frac{15}{3} = 5$ ‍, $\frac{15}{5} = 3$ ‍ 이므로 $15$ ‍ 는 $3$ ‍ 과 $5$ ‍ 로 나누어떨어집니다. 하지만 $\frac{9}{4} = 2.25$ ‍ 이므로 $9$ ‍ 는 $4$ ‍ 로 나누어떨어지지 않습니다.

인수와 나누어떨어짐의 관계를 알아봅시다:

14 = 2 \cdot 7

이므로 (

2

가

14

의 인수라는 뜻입니다),

\frac{14}{2} = 7

입니다(

14

가

2

로 나누어떨어진다는 뜻입니다).

반대로 말하면,

\frac{15}{3} = 5

이므로 (

15

가

3

으로 나누어떨어진다는 뜻입니다),

15 = 3 \cdot 5

라는 것을 알 수 있습니다 (

3

이

15

의 인수라는 뜻입니다).

이는 일반적으로 사실입니다:

a

가

b

의 인수라면,

b

는

a

로 나누어떨어지고, 그 반대도 성립합니다.

다항식의 인수와 나누어떨어짐

이 개념은 다항식에도 적용될 수 있습니다.

다항식을 두 개 이상 곱할 때, 이 다항식들을 곱의 인수라고 합니다.

예를 들면, $2 x (x + 3) = 2 x^{2} + 6 x$ ‍ 에서 $2 x$ ‍ 와 $x + 3$ ‍ 은 $2 x^{2} + 6 x$ ‍ 의 인수입니다.

또한 다항식을 다항식으로 나눌 때, 나머지가 다항식이면 나누어떨어진다고 합니다.

예를 들어, $\frac{6 x^{2}}{3 x} = 2 x$ ‍ 이고 $\frac{6 x^{2}}{2 x} = 3 x$ ‍ 이므로 $6 x^{2}$ ‍ 은 $3 x$ ‍ 과 $2 x$ ‍ 로 나누어떨어집니다. 하지만 $\frac{4 x}{2 x^{2}} = \frac{2}{x}$ ‍ 이므로 $4 x$ ‍ 는 $2 x^{2}$ ‍ 로 나누어떨어지지 않습니다.

정수인 인수와 나누어떨어짐의 관계가 여기서도 적용될 수 있습니다:

일반적으로 다항식

p

q

r

에 대해

p = q \cdot r

일 때, 다음이 성립합니다:

$q$ ‍ 와 $r$ ‍ 은 $p$ ‍ 의 인수입니다.
$p$ ‍ 는 $q$ ‍ 와 $r$ ‍ 로 나누어떨어집니다.

이해했는지 확인하기

1) 식 $3 x (x + 2) = 3 x^{2} + 6 x$ ‍ 에서 생기는 관계를 알맞게 표현하도록 문장을 완성하세요.

x + 2

는

3 x^{2} + 6 x

그리고

3 x^{2} + 6 x

는

x + 2

2) 선생님이 칠판에 다음과 같이 썼습니다:

(3 x^{2}) (4 x) = 12 x^{3}

마일즈는

3 x^{2}

이

12 x^{3}

의 인수라고 생각합니다.

주드는

12 x^{3}

이

4 x

로 나누어떨어진다고 생각합니다.

누가 맞혔을까요?

인수와 나누어떨어짐 확인하기

연습 문제 1: $24 x^{4}$ ‍ 이 $8 x^{3}$ ‍ 으로 나누어떨어지나요?

\frac{24 x^{4}}{8 x^{3}}

을 간단히 해서 구할 수 있습니다. 결과가 단항식이면

24 x^{4}

은

8 x^{3}

으로 나누어떨어지는 것이고, 단항식이 아니라면

24 x^{4}

은

8 x^{3}

으로 나누어떨어지지 않는 것입니다.

$\begin{aligned} \frac{24 x^{4}}{8 x^{3}} & = \frac{24}{8} \cdot \frac{x^{4}}{x^{3}} \\ = 3 \cdot x^{1} & \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} \\ = 3 x \end{aligned}$ ‍

결과가 단항식이므로

24 x^{4}

은

8 x^{3}

으로 나누어떨어집니다 (이는

8 x^{3}

이

24 x^{4}

의 인수라는 것도 나타냅니다).

연습 문제 2: $4 x^{6}$ ‍ 은 $32 x^{3}$ ‍ 의 인수인가요?

4 x^{6}

이

32 x^{3}

의 인수라면,

32 x^{3}

은

4 x^{6}

으로 나누어떨어집니다.

\frac{32 x^{3}}{4 x^{6}}

을 간단히 해서 구해 봅시다.

$\begin{aligned} \frac{32 x^{3}}{4 x^{6}} & = \frac{32}{4} \cdot \frac{x^{3}}{x^{6}} \\ = 8 \cdot x^{- 3} & \frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n} \\ = 8 \cdot \frac{1}{x^{3}} & a^{- m} = \frac{1}{a^{m}} \\ = \frac{8}{x^{3}} \end{aligned}$ ‍

\frac{8}{x^{3}}

은 곱이 아니라 몫이기 때문에 단항식이 아닙니다. 따라서

4 x^{6}

은

32 x^{3}

의 인수가 아닙니다.

요약

일반적으로, 다항식

p

가 다항식

q

로 나누어떨어지는지, 즉

q

가

p

의 인수인지 알아보기위해

\frac{p (x)}{q (x)}

를 구해 봅시다.

만약 다항식이 나온다면

p

는

q

로 나누어떨어지고

q

는

p

의 인수입니다.

이해했는지 확인하기

3) $30 x^{4}$ ‍ 은 $2 x^{2}$ ‍ 으로 나누어떨어지나요?

4) $12 x^{2}$ ‍ 은 $6 x$ ‍ 의 인수인가요?

심화문제

5*) 다음 중 $15 x^{2} y^{6}$ ‍ 의 인수인 단항식은 무엇인가요?

	약수(인수)	인수가 아닙니다
$3 x^{2} y^{5}$ ‍
$5 x$ ‍
$10 x^{4} y^{3}$ ‍

단항식

A

가

15 x^{2} y^{6}

의 인수인지

15 x^{2} y^{6}

을

A

로 나누고 몫을 확인하여 알 수 있습니다:

주어진 단항식으로 확인해 봅시다!

\begin{aligned} \frac{15 x^{2} y^{6}}{5 x} & = 3 x y^{6} \\ \frac{15 x^{2} y^{6}}{3 x^{2} y^{5}} & = 5 y \\ \frac{15 x^{2} y^{6}}{10 x^{4} y^{3}} & = \frac{3 y^{3}}{2 x^{2}} \end{aligned}

3 x y^{6}

과

5 y

둘 다 단항식이기 때문에

5 x

와

3 x^{2} y^{5}

둘 다

15 x^{2} y^{6}

의 인수입니다.

\frac{3 y^{3}}{2 x^{2}}

은 분모로

x^{2}

을 가지고 있기 때문에 단항식이 아닙니다. 따라서

10 x^{4} y^{3}

은

15 x^{2} y^{6}

의 인수가 아닙니다.

6*) 가로가

x + 4

이고 세로가

x + 1

인 직사각형의 넓이는

x^{2} + 5 x + 4

입니다.

다음 중 $x^{2} + 5 x + 4$ ‍ 의 인수는 무엇인가요?

다항식의 인수분해를 왜 배우는 걸까요?

정수의 인수분해가 다양하게 쓰인 것처럼 다항식의 인수분해도 다양하게 쓰입니다.

특히 다항식의 인수분해는 이차방정식을 풀거나 유리식을 간단히 할 때 아주 유용합니다.

더 알고 싶다면 아래 내용을 확인해 보세요:

다음엔 무엇을 배울까요?

다음 단원에서는 단항식을 인수분해하는 방법에 대해 배워 봅시다.

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정수인 인수와 나누어떨어짐

다항식의 인수와 나누어떨어짐

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연습 문제 2: 4x6‍ 은 32x3‍ 의 인수인가요?

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