이차식의 인수분해 문제 해결 방법 (2/2)

지난 동영상에서 세 가지 예제를 이용해 인수분해 방법을 적용해 보았어요 첫 번째 예제는 공통인수로 묶는 것이었죠 공통인수로 묶었더니 식이 바로 인수분해 되었어요 두 번째 예제에도 공통인수 4가 있었지만 4로 묶어준 뒤에도 인수분해를 한 번 더 해줘야 했습니다 더해서 1차항의 계수가 되고 곱해서 상수항이 되는 두 수를 이용해서 이 식과 같이 인수분해할 수 있었어요 세 번째 예제에서도 공통인수로 묶어주었습니다 이 식의 공통인수는 3이었습니다 이 식을 두 번째 식과 같은 방법으로 풀 수도 있지만 이 식을 공통인수로 묶으면 완전제곱식이 되므로 이를 이용할 수도 있죠 어떤 방법을 이용하든 식을 인수분해할 수 있습니다 이번에는 이와 다른 방법으로 인수분해해야 하는 다른 종류의 다항식들을 살펴봅시다 7x² - 6이라는 식이 있습니다 동영상을 잠시 멈추고 직접 인수분해해 보세요 먼저 식에서 공통인수를 찾아봅시다 식을 7로 묶어줄 수 있겠네요 7로 묶어주면 식은 7(x² - 9)가 됩니다 이 식을 보면 제곱의 차 형태라는 것을 알 수 있습니다 x²이 있고 9는 3²과 같죠 x² - 9입니다 제곱의 차라는 용어를 처음 들어보거나 제곱의 차 형태의 식을 인수분해하는 방법을 모른다면 제곱의 차와 관련된 수업 동영상을 보거나 칸아카데미에서 관련 연습문제를 찾아 보세요 제곱의 차 형태의 식을 인수분해해 봅시다 먼저 7을 앞으로 빼준 다음 괄호 안의 식을 인수분해해 봅시다 (x + 3)(x - 3) 이를 계산하면 x² - 3²이 됩니다 이는 이전 동영상에서 배웠었던 방법에 비하면 어렵지 않은 방법입니다 x² - 9를 x² + 0x - 9라고 볼 수도 있어요 그렇다면 이 식에서 곱하면 -9가 되고 더하면 0이 되는 두 수는 무엇일까요? 곱해서 -9가 되므로 두 수의 부호는 다르겠죠? 두 수의 부호가 같았다면 곱했을 때 양수가 됐겠죠 두 수의 부호는 다르며 9의 인수는 3개밖에 없어요 먼저 1과 9가 있습니다 그리고 3과 3이 있죠 만약 1과 9 중에 음수가 있다면 더했을 때 0이 되지 않습니다 하지만 3이 음수라면 더했을 때 0이 되죠 따라서 두 수는 3과 -3이 됩니다 그러므로 식은 (x - 3)(x + 3)이 되겠죠 위에서는 괄호 안의 식만을 이용해 풀었어요 아래 식의 앞에 7을 놓으면 위의 식과 같은 식이 됩니다 제곱의 차 형태의 식을 안다면 좀 더 빠르게 풀 수 있을 거예요 한 문제 더 풀어 봅시다 2x² + 7x + 3이라는 식이 있습니다 2차항의 계수가 1이 아닐 때는 공통인수가 있는지 살펴봐야 합니다 하지만 7과 3은 2로 나누어지지 않죠? 그러므로 공통인수를 이용해 식을 묶어서 최고차항의 계수를 1로 만들어주는 방법은 사용할 수 없어요 이와 같은 식이 있다면 묶어서 인수분해를 해주어야 합니다 지금까지 풀었던 문제들도 묶어서 인수분해하는 방법의 한 종류라고 볼 수 있습니다 이 식을 묶어서 인수분해해 봅시다 더해서 1차항의 계수가 되는 수를 생각해 봅시다 a + b = 7 두 수 a와 b를 곱했을 때는 3이 되는 것이 아니라 3과 최고차항의 계수의 곱이 되어야 합니다 최고차항은 2차항이 되겠죠? 그러므로 a · b = 3 · 2가 됩니다 사실 계속 이렇게 계산해왔었어요 다른 예제에서는 최고차항의 계수가 1이었죠 상수항에 1만 곱하면 됐었기 때문에 a · b가 그냥 상수항과 같다고 했던 거예요 따라서 a · b는 상수항과 최고차항의 계수의 곱이라고 할 수 있습니다 묶어서 인수분해하는 방법에 대해서 배우면서 왜 이렇게 계산되는지 설명했었습니다 이것은 마법같은 공식이 아니에요 수학적으로 근거가 있는 공식입니다 이를 알아두면 나중에 유용할 거예요 이제 더하면 7이 되고 곱해서 6이 되는 두 수를 생각해 봅시다 두 수의 곱이 양수이므로 두 수의 부호는 같겠죠? 두 수의 부호가 같으므로 두 수의 곱은 양수가 되며 양수의 합은 양수가 됩니다 두 수는 1과 6이 되겠네요 1 + 6 = 7이고 1 · 6 = 6이죠 묶어서 인수분해 하는 방법에서는 a + b를 a와 b로 쪼개서 식을 다시 써줘야 합니다 그러므로 식을 다시 쓰면 2x² + 6x + 1x + 3입니다 7x를 6x와 1x로 쪼갠 거예요 이렇게 1차항을 쪼개보았습니다 이제 분배법칙을 역으로 두 번 이용할 수 있습니다 먼저 앞의 두 항에서 공통인수를 찾아봅시다 2x²과 6x에는 모두 2x가 들어있죠? 그러므로 처음 두 항을 2x로 묶어 봅시다 2x로 묶어주면 2x²은 x가 되고 6x는 3이 됩니다 그리고 뒤의 식을 보면 특별한 경우죠? x와 3은 공통인수가 없어요 그러므로 그냥 써 줍니다 괄호를 써주지 않아도 의미는 같지만 괄호를 써주면 무언가를 알아채실 거예요 식을 x + 3으로 묶어줄 수 있겠죠 (x + 3)으로 묶어주면 식이 어떻게 될까요? 2x(x + 3)을 (x + 3)으로 묶어주면 2x만 남습니다 (x + 3)항을 (x + 3)항으로 묶어주면 1만 남습니다 (x + 3)(2x + 1)이 되죠 인수분해가 끝났습니다 이렇게 여러 가지 방법을 배워 보았습니다 묶어서 인수분해하는 방법은 조금 어려울 수도 있어요 지금까지 푼 예제들은 식을 약간 변형했을 뿐입니다 실제로는 묶어서 인수분해하는 방법의 특별한 경우죠 예제를 보면 알 수 있어요 두 수를 더하면 가운데 항 즉, 일차항의 계수가 되죠 그리고 두 수의 곱은 상수항과 최고차항의 계수의 곱과 같습니다 이렇게 하면 식을 쪼개서 쉽게 인수분해를 할 수 있어요 이 부분에서 (x + 3)의 계수가 1이라는 것을 알아차리기 힘들 수도 있어요 1 · (x + 3)은 (x + 3)과 같죠 그러므로 식을 x + 3으로 묶어주면 2x + 1이 남게 됩니다 이런 인수분해 방법에 익숙해졌다면 문제를 쉽게 풀 수 있을 거예요 만약 지금까지 배운 인수분해 방법을 적용할 수 없다면 근의 공식을 이용해서 문제를 풀 수도 있습니다