이차식의 인수분해 문제 해결 방법 (1/2)

다른 동영상에서 이차식을 인수분해하는 방법을 배워 보았습니다 이번 동영상에서는 어떤 인수분해 방법을 이용해야 하는지에 대해 배워 보겠습니다 먼저 이차식을 써 볼테니 동영상을 잠시 멈추고 한번 인수분해해 보세요 첫 번째 이차식은 6x² + 3x입니다 동영상을 멈추고 인수분해해 보세요 식을 보면 공통인수를 발견할 수 있습니다 두 항은 모두 3으로 나눌 수 있죠? 6과 3은 모두 3으로 나눌 수 있습니다 그리고 두 항 모두 x로 나눌 수 있습니다 그러므로 식을 3x로 묶어줄 수 있죠 식을 3x로 묶어주면 6x²은 2x가 되고 3x는 1이 됩니다 이렇게 식을 인수분해해 보았습니다 두 식이 같다는 것을 확인해 볼까요? 3x를 분배해주면 3x · 2x = 6x²이 되고 3x · 1 = 3x가 되죠 같은 식이 나왔습니다 식을 올바르게 인수분해했습니다 첫 번째 예제에서는 공통인수로 묶어주는 방법밖에 사용할 수 없었지만 다른 예제에서는 이 방법이 첫 번째 단계가 될 수 있어요 항상 인수분해를 하기 전에 공통인수가 있는지 확인해야 하기 때문이죠 다른 예제도 풀어 봅시다 4x² - 4x - 48이라는 식이 있습니다 동영상을 잠시 멈추고 인수분해를 해 보세요 식을 보면 공통인수를 발견할 수 있습니다 모두 4로 나눌 수 있겠죠 4는 당연히 4로 나눠지며 48도 4로 나눠집니다 따라서 식을 4로 묶으면 4(x² - x - 12)가 됩니다 각 항을 4로 나눈 뒤 식을 4로 묶어준 거예요 4를 다시 분배해서 두 식이 같다는 것을 확인할 수 있습니다 아직 인수분해가 끝나지 않았습니다 괄호 안의 식을 한 번 더 인수분해할 수 있어요 어떻게 할 수 있을까요? 식을 보면 이차항의 계수가 1이라는 것을 알 수 있습니다 식은 내림차순으로 정리되어 있어요 이차항, 일차항, 상수항의 순서대로 쓰여 있죠 이차항의 계수는 1입니다 그렇다면 더했을 때 일차항의 계수 즉, x항의 계수인 -1이 되는 두 수는 무엇일까요? 여기에 계수가 쓰여있지 않지만 -x은 사실 -1x와 같습니다 따라서 두 수 a, b는 a + b = -1이 되어야 합니다 그리고 두 수의 곱은 -12가 되어야 해요 이는 다른 동영상에서도 배웠던 풀이 방법이죠? 이 개념은 여기에도 적용할 수 있습니다 따라서 a · b = -12입니다 여기서 중요한 사실은 두 수의 곱이 음수이므로 두 수의 부호가 다르다는 것입니다 하나는 양수이고 하나는 음수일 거예요 두 수의 부호가 같았다면 곱이 양수가 되었겠죠 12의 인수의 쌍을 생각해 봅시다 이때 두 인수의 부호는 서로 다를 거예요 12의 인수에는 1과 12가 있죠 -1과 12일 때는 -1 + 12 = 11이 되고 반대로 -12와 1일 때는 -12 + 1 = -11이 되죠 두 인수의 쌍 모두 성립하지 않습니다 이번에는 2와 6을 생각해 봅시다 -2 + 6 = 4가 되고 -6 + 2 = -4가 되므로 이 인수의 쌍도 성립하지 않아요 3과 4를 생각해 봅시다 -3 + 4 = 1이 되지만 -4 + 3 = -1이 되므로 3과 -4가 성립하겠네요 3과 -4를 곱하면 -12가 되고 3과 -4를 더하면 -1이 됩니다 이제 괄호 안의 식을 인수분해해 봅시다 4를 먼저 써주고 두 개의 이항식으로 인수분해해 줄 거예요 첫 번째 이항식은 (x + 3)이 되고 두 번째 이항식은 (x - 4)입니다 4(x + 3)(x - 4) 인수분해를 마쳤습니다 이 과정이 잘 이해되지 않는다면 다항식의 인수분해 동영상을 참고하세요 그러면 이해가 잘 될 거예요 다시 한 번 말하자면 먼저 식을 묶어줄 수 있는 공통인수를 찾아봅니다 두 예제를 통해 해 봤었죠? 그리고 최고차항인 이차항의 계수가 1이며 식이 내림차순으로 쓰여졌다면 더해서 일차항의 계수가 되며 곱해서 상수항이되는 두 수를 생각해 보세요 이 예제에서 두 수는 3과 -4였죠? 그래서 이렇게 인수분해할 수 있었어요 다른 예제를 하나 더 봅시다 동영상을 잠시 멈추고 직접 인수분해해 보세요 3x² + 30 + 75 같이 풀어 볼까요? 식을 보니 항을 모두 3으로 나눌 수 있겠죠? 식을 3으로 묶어주면 3x²은 x²이 되겠죠 두 번째 항에 x를 빠뜨렸네요 올바른 식은 3x² + 30x + 75입니다 동영상을 멈추고 다시 인수분해해 보세요 다시 해 볼까요? 식을 3으로 묶어주면 3(x² + 10x + 25)입니다 최고차항의 계수가 1이며 식이 내림차순으로 쓰였죠 더해서 10이 되는 두 수는 무엇일까요? a + b = 10 그리고 ab = 25가 되는 두 수는 무엇일까요? 25의 인수를 살펴봅시다 두 수의 합과 곱이 모두 양수이므로 두 수는 모두 양수일 거예요 그리고 25의 인수의 쌍은 1과 25도 있지만 5와 5가 성립하겠네요 5 + 5 = 10이고 5 · 5 = 25입니다 이를 이용해 인수분해를 해 봅시다 식은 3(x + 5)(x + 5)가 되겠죠 또는 이 식을 3(x + 5)²으로 쓸 수도 있어요 이런 방법을 쓰지 않고도 인수분해를 할 수 있어요 이 식을 보면 상수항이 완전제곱수이기 때문에 완전제곱식이 된다는 것을 알 수 있습니다 그러므로 완전제곱식을 이용하여 인수분해할 수 있죠 완전제곱식이므로 상수항에 근호를 씌우면 일차항의 계수는 그 값의 2배가 될 거예요 이는 이 식이 완전제곱식이라는 증거죠 완전제곱을 이용하든지 방금 배운 방법을 이용하든지 두 방법 모두 정답을 구할 수 있습니다