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단원 9: 이차식의 인수분해 문제 해결 방법

다양한 형태의 이차식의 인수분해

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다양한 형태의 이차식을 인수분해하기 위해 이차식의 인수분해에 대해서 배운 것을 것을 합쳐 봅시다.

이 단원을 시작하기 전에 알아야 할 것들

다음은 이번 단원에서 사용될 인수분해 방법입니다:

이번 단원에서 배우는 것

이번 단원에서는 위의 방법을 이용해 다양한 형태의 이차식을 인수분해합니다.

인수분해 방법 복습하기

방법	예시	언제 적용되나요?
공통인수로 다항식 인수분해하기	$\begin{aligned} 6 x^{2} + 3 x \\ = 3 x (2 x + 1) \end{aligned}$ ‍	다항식의 각 항이 공통인수를 가질 때
이차식의 인수분해: 최고차항의 계수 = 1	$\begin{aligned} x^{2} + 7 x + 12 \\ = (x + 3) (x + 4) \end{aligned}$ ‍	다항식이 $x^{2} + b x + c$ ‍ 의 형태이며 합이 $b$ ‍ 가 되고 곱이 $c$ ‍ 가 되는 인수들이 존재할 때
이차식의 인수분해: 최고차항 계수 ≠ 1	$\begin{aligned} 2 x^{2} + 7 x + 3 \\ = 2 x^{2} + 6 x + 1 x + 3 \\ = 2 x (x + 3) + 1 (x + 3) \\ = (x + 3) (2 x + 1) \end{aligned}$ ‍	다항식이 $a x^{2} + b x + c$ ‍ 의 형태를 가지며 $a c$ ‍ 의 인수의 합이 $b$ ‍ 가 될 때
이차식의 인수분해: 완전제곱식	$\begin{aligned} x^{2} + 10 x + 25 \\ = (x + 5)^{2} \end{aligned}$ ‍	첫 번째 항과 마지막 항이 완전제곱수이고, 가운데 항은 상수항의 제곱근의 두 배일 때
이차식의 인수분해: 제곱의 차	$\begin{aligned} x^{2} - 9 \\ = (x - 3) (x + 3) \end{aligned}$ ‍	식이 제곱의 차로 표현될 때

개념 합치기

연습문제에서는 어떤 인수분해 방법을 선택해야 하는지 알려주지 않습니다. 인수분해를 쉽게 하기 위해서는 질문 목록을 만드는 것이 중요합니다.

다음은 이차다항식을 어떻게 인수분해할 것인지에 대한 예시 질문 목록입니다.

이차식의 인수분해

인수분해 문제를 풀기 전에, 식을

a x^{2} + b x + c

꼴로 작성하면 쉽게 풀 수 있을 것입니다.

[풀이 보기]

이 경우, 다음 질문들을 이용해 문제를 풀어 봅시다:

질문 1: 공통인수가 존재하나요?
없다면, 질문 2로 이동합니다. 있다면, 공통인수로 묶은 뒤 질문 2로 이동합니다.

공통인수를 밖으로 묶어 내는 단계는 아주 중요합니다. 수를 작게 나타낼 수 있으며, 공식을 더 쉽게 파악할 수 있기 때문입니다.

질문 2: 식이 제곱의 차로 표현되었나요? (예를 들어, $x^{2} - 16$ ‍ 또는 $25 x^{2} - 9$ ‍)
제곱의 차로 표현되었다면

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

공식을 이용해 인수분해합니다. 아니라면 질문 3으로 이동합니다.

질문 3: 식이 완전제곱식인가요? (예를 들어, $x^{2} - 10 x + 25$ ‍ 또는 $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍)
식이 완전제곱식이라면

a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = (a \pm b)^{2}

공식을 이용해 인수분해합니다. 아니라면 질문 4로 이동합니다.

질문 4:

a.) $x^{2} + b x + c$ ‍ 꼴의 표현이 있나요?
아니라면 질문 5로 이동하고, 있으면 b)로 이동합니다.

b.) 합이 $b$ ‍ 가 되고 곱이 $c$ ‍ 가 되는 인수들이 존재하나요?
맞으면 합과 곱을 이용해서 인수분해합니다. 아니라면 이차식은 더 이상 인수분해를 할 수 없습니다.

질문 5: 합이 $b$ ‍가 되는 $a c$ ‍의 인수들이 존재하나요?
여기까지 진행이 되었으면 이차식은

a x^{2} + b x + c

와 같이 표현될 것입니다. 여기서

a \neq 1

입니다. 존재하면 공통인수 묶기를 이용하여 인수분해 해 봅시다. 존재하지 않으면 이차식은 더 이상 인수분해가 안 됩니다.

위의 질문들을 단계별로 거치면 이차식이 완전히 인수분해되었는지 확인할 수 있습니다.

[완전히 인수분해한다는 것은 무슨 뜻인가요?]

연습문제를 풀어 봅시다.

예제 1: $5 x^{2} - 80$ ‍ 인수분해하기

식이 이미

a x^{2} + b x + c

꼴로 주어졌으므로, 질문 목록을 확인해 봅시다.

질문 1: 공통인수가 존재하나요?
네.

5 x^{2}

과

80

의 공통인수는

5

입니다. 공통인수를 다음과 같이 밖으로 묶어 냅니다:

$5 x^{2} - 80 = 5 (x^{2} - 16)$ ‍

질문 2: 식이 제곱의 차로 표현되었나요?
네.

x^{2} - 16 = (x)^{2} - (4)^{2}

입니다. 아래와 같이 제곱의 차를 이용해 인수분해를 할 수 있습니다.

$\begin{aligned} = 5 ((x)^{2} - (4)^{2}) \\ = 5 (x + 4) (x - 4) \end{aligned}$ ‍

이차식이 더 이상 존재하지 않으므로, 다항식을 완전히 인수분해했습니다.

따라서,

5 x^{2} - 80 = 5 (x + 4) (x - 4)

입니다.

예제2: $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍ 인수분해하기

이번에도 식이

a x^{2} + b x + c

꼴로 주어졌으므로, 질문 목록을 확인해 봅시다.

질문 1: 공통인수가 존재하나요?
아니요. 항

4 x^{2}

12 x

9

는 공통인수가 없습니다. 다음 질문으로 이동합니다.

질문 2: 식이 제곱의 차로 표현되었나요?
아니요.

x

항이 존재하므로 제곱의 차로 나타날 수 없습니다. 다음 질문으로 이동합니다.

질문 3: 식이 완전제곱식인가요?
네. 첫 번째 항은

4 x^{2} = (2 x)^{2}

이며 마지막 항은

9 = (3)^{2}

입니다. 또한, 가운데 항은

12 x = 2 (2 x) (3)

으로 상수항의 제곱근의 두 배입니다.

완전제곱식을 이용해서 이차식을 인수분해할 수 있습니다.

$\begin{aligned} 4 x^{2} + 12 x + 9 \\ = (2 x)^{2} + 2 (2 x) (3) + (3)^{2} \\ = (2 x + 3)^{2} \end{aligned}$ ‍

따라서,

4 x^{2} + 12 x + 9 = (2 x + 3)^{2}

입니다.

예제 3: $12 x - 63 + 3 x^{2}$ ‍ 인수분해하기

이차식이

a x^{2} + b x + c

꼴이 아니므로

3 x^{2} + 12 x - 63

으로 다시 쓴 뒤, 질문 목록을 확인해 봅시다.

질문 1: 공통인수가 존재하나요?
네.

3 x^{2}

12 x

63

의 공통인수는

3

입니다. 공통인수를 다음과 같이 묶어 냅니다:

$3 x^{2} + 12 x - 63 = 3 (x^{2} + 4 x - 21)$ ‍

질문 2: 식이 제곱의 차로 표현되었나요?
아니요. 다음 질문으로 이동합니다.

질문 3: 식이 완전제곱식인가요?
아니요.

21

은 완전제곱꼴이 아니므로, 완전제곱식이 아닙니다. 다음 질문으로 이동합니다.

질문 4a: $x^{2} + b x + c$ ‍ 꼴의 표현이 있나요?
네. 이차식은

x^{2} + 4 x - 21

로 나타낼 수 있습니다.

질문 4b: 합이 $b$ ‍ 가 되고 곱이 $c$ ‍ 가 되는 인수들이 존재하나요?
네. 합이

4

가 되고 곱이

- 21

이 되는 인수들이 존재합니다.

7 \cdot (- 3) = - 21

과

7 + (- 3) = 4

이므로, 다음과 같이 인수분해를 할 수 있습니다:

$\begin{aligned} = 3 (x^{2} + 4 x - 21) \\ = 3 (x + 7) (x - 3) \end{aligned}$ ‍

따라서,

3 x^{2} + 12 x - 63 = 3 (x + 7) (x - 3)

입니다.

예제4: $4 x^{2} + 18 x - 10$ ‍ 인수분해하기

식이 이미

a x^{2} + b x + c

꼴로 주어졌습니다.

질문 1: 공통인수가 존재하나요?
네.

4 x^{2}

18 x

10

의 공통인수는

2

입니다. 공통인수를 다음과 같이 밖으로 묶어 냅니다:

$4 x^{2} + 18 x - 10 = 2 (2 x^{2} + 9 x - 5)$ ‍

질문 2: 식이 제곱의 차로 표현되었나요?
아니요. 다음 질문으로 이동합니다.

질문 3: 식이 완전제곱식인가요?
아니요. 다음 질문으로 이동합니다.

질문 4a: $x^{2} + b x + c$ ‍ 꼴의 표현이 있나요?
아니요. 다항식의 최고차항의 계수는

2

입니다. 다음 질문으로 이동합니다.

질문 5: $a c$ ‍ 의 인수의 합이 $b$ ‍ 가 되는 인수들이 존재하나요?
다항식은

2 x^{2} + 9 x - 5

와 같이 나타낼 수 있습니다.

2 \cdot (- 5) = - 10

의 합이

9

가 되는 인수들을 찾아봅시다.

(- 1) \cdot 10 = - 10

과

(- 1) + 10 = 9

이므로, 인수가 존재합니다.

가운데 항은

- 1 x + 10 x

으로 쓸 수 있으며, 공통인수를 이용해 인수분해를 할 수 있습니다:

\begin{aligned} 2 (2 x^{2} + 9 x - 5) \\ = 2 (2 x^{2} - 1 x + 10 x - 5) & 가운데 항을 쪼개 줍니다 \\ = 2 ((2 x^{2} - 1 x) + (10 x - 5)) & 괄호 안의 식을 두 항씩 묶습니다 \\ = 2 (x (2 x - 1) + 5 (2 x - 1)) & 공통인수로 묶어 냅니다 \\ = 2 (2 x - 1) (x + 5) & 2 x - 1 로 묶어 냅니다 \end{aligned}

이해했는지 확인하기

1) $2 x^{2} + 4 x - 16$ ‍ 을 완전히 인수분해하세요.

[풀이 보기]

2) $3 x^{2} - 60 x + 300$ ‍ 을 완전히 인수분해하세요.

[풀이 보기]

3) $72 x^{2} - 2$ ‍ 를 완전히 인수분해하세요.

[풀이 보기]

4) $5 x^{2} + 5 x + 15$ ‍ 를 완전히 인수분해하세요.

[풀이 보기]

5) $8 x^{2} - 12 x - 8$ ‍ 을 완전히 인수분해하세요.

[풀이 보기]

6) $56 - 18 x + x^{2}$ ‍ 을 완전히 인수분해하세요.

[풀이 보기]

7) $3 x^{2} + 27$ ‍ 을 완전히 인수분해하세요.

[풀이 보기]

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이차식의 인수분해

예제 1: 5x2−80‍ 인수분해하기

예제2: 4x2+12x+9‍ 인수분해하기

예제 3: 12x−63+3x2‍ 인수분해하기

예제4: 4x2+18x−10‍ 인수분해하기

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예제 1: $5 x^{2} - 80$ ‍ 인수분해하기

예제2: $4 x^{2} + 12 x + 9$ ‍ 인수분해하기

예제 3: $12 x - 63 + 3 x^{2}$ ‍ 인수분해하기

예제4: $4 x^{2} + 18 x - 10$ ‍ 인수분해하기