If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

웹 필터가 올바르게 작동하지 않으면 도메인 *. kastatic.org과 *.kasandbox.org이 차단되어 있는지 확인하세요.

주요 내용

대수학 1

코스: 대수학 1 > 단원 13

단원 6: 묶어서 이차식 인수분해하기
수학
대수학 1
이차식: 곱셈 & 인수분해
묶어서 이차식 인수분해하기
© 2023 Khan Academy이용약관개인정보 보호정책쿠키 방침

이차식의 인수분해: 최고차항 계수 ≠ 1

구글 클래스룸
이차식을 두 개의 일차식의 곱으로 나타내는 방법에 대해 학습합니다. 예를 들어, 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3) 입니다.

이 단원을 시작하기 전에 알아야 할 것

공통인수를 여러 번 밖으로 묶어내어 항이 4개인 다항식을 인수분해할 수 있습니다. 처음 보는 내용이라면 묶어서 인수분해하기를 확인해 보세요.
이 단원을 시작하기 전에 이차식의 인수분해: 최고차항의 계수 = 1를 복습하는 것을 추천합니다.

이번 단원에서 배우는 것

이번 단원에서는 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3과 같이 최고차항의 계수가 1이 아닌 이차방정식을 묶어서 인수분해하는 방법을 배울 것입니다.

연습문제 1: 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3 인수분해 하기

left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 7, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 3, end color #aa87ff, right parenthesis의 최고차항 계수가 start color #11accd, 2, end color #11accd이므로, 곱셈공식을 이용해 이차식을 인수분해할 수 없습니다.
start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 7, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 3, end color #aa87ff을 인수분해하려면, 곱해서 start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #aa87ff, 3, end color #aa87ff, equals, 6 (최고차항의 계수와 상수항의 곱)이 되고 더해서 start color #e07d10, 7, end color #e07d10(x항의 계수)이 되는 두 정수를 찾아야 합니다.
start color #01a995, 1, end color #01a995, dot, start color #01a995, 6, end color #01a995, equals, 6과 start color #01a995, 1, end color #01a995, plus, start color #01a995, 6, end color #01a995, equals, 7이므로, 두 수는start color #01a995, 1, end color #01a995과 start color #01a995, 6, end color #01a995입니다.
두 수는 처음 식의 x항을 어떻게 분할할지 알려줍니다. 따라서 다항식을 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3, equals, 2, x, squared, plus, start color #01a995, 1, end color #01a995, x, plus, start color #01a995, 6, end color #01a995, x, plus, 3
묶어서 다항식을 인수분해할 수 있습니다:
=  2x2+1x+6x+3=(2x2+1x)+(6x+3)두 항씩 묶어 줍니다=x(2x+1)+3(2x+1)공통인수로 묶어 냅니다=x(2x+1)+3(2x+1)다른 공통인수가 생겼습니다=(2x+1)(x+3)2x+1로 묶어 냅니다\begin{aligned}&\phantom{=}~~2x^2+1x+6x+3\\\\ &=({2x^2+1x}){+(6x+3)}&&\small{\gray{\text{두 항씩 묶어 줍니다}}}\\ \\ &=x({2x+1})+3({2x+1})&&\small{\gray{\text{공통인수로 묶어 냅니다}}}\\ \\ &=x(\maroonD{2x+1})+3(\maroonD{2x+1})&&\small{\gray{\text{다른 공통인수가 생겼습니다}}}\\\\ &=(\maroonD{2x+1})(x+3)&&\small{\gray{2x+1\text{로 묶어 냅니다}}} \end{aligned}
인수분해된 형태는 left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis입니다.
인수들을 곱하면 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3이 되는 것을 확인할 수 있습니다.

요약하기

일반적으로 다음과 같은 단계로 start color #11accd, a, end color #11accd, x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff 형태의 이차식을 인수분해할 수 있습니다.
  1. 먼저 곱하면 start color #11accd, a, end color #11accd, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff이고, 더하면 start color #e07d10, b, end color #e07d10가 되는 두 수를 찾습니다.
  2. 두 수를 이용하여 x항을 분할합니다.
  3. 이차식을 묶어서 인수분해합니다.

이해했는지 확인하기

1) 3, x, squared, plus, 10, x, plus, 8을 인수분해하세요.
정답을 한 개 고르세요:

2) 4, x, squared, plus, 16, x, plus, 15를 인수분해하세요.

연습문제 2: 6, x, squared, minus, 5, x, minus, 4 인수분해 하기

start color #11accd, 6, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, minus, 4, end color #aa87ff를 인수분해하려면, 곱해서 start color #11accd, 6, end color #11accd, dot, left parenthesis, start color #aa87ff, minus, 4, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, minus, 24가 되고 더해서 start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10가 되는 두 정수를 찾아야 합니다.
start color #01a995, 3, end color #01a995, dot, left parenthesis, start color #01a995, minus, 8, end color #01a995, right parenthesis, equals, minus, 24와 start color #01a995, 3, end color #01a995, plus, left parenthesis, start color #01a995, minus, 8, end color #01a995, right parenthesis, equals, minus, 5이므로, 두 수는 start color #01a995, 3, end color #01a995과 start color #01a995, minus, 8, end color #01a995입니다.
minus, 5, x는 start color #01a995, 3, end color #01a995, x, plus, start color #01a995, minus, 8, end color #01a995, x로 나눌 수 있으며, 묶어서 다항식을 인수분해할 수 있습니다:
= 6x2+3x−8x−4(1)=(6x2+3x)+(−8x−4)두 항씩 묶어 줍니다(2)=3x(2x+1)+(−4)(2x+1)공통인수로 묶어 냅니다(3)=3x(2x+1)−4(2x+1)부호를 정리합니다(4)=3x(2x+1)−4(2x+1)다른 공통인수가 생겼습니다(5)=(2x+1)(3x−4)2x+1으로 묶어 냅니다\begin{aligned}&&&\phantom{=}~6x^2+\tealD{3}x\tealD{-8}x-4\\\\ \small{\blueD{(1)}}&&&=({6x^2+3x}){+(-8x-4)}&&\small{\gray{\text{두 항씩 묶어 줍니다}}}\\ \\ \small{\blueD{(2)}}&&&=3x({2x+1})+(-4)({2x+1})&&\small{\gray{\text{공통인수로 묶어 냅니다}}}\\ \\ \small{\blueD{(3)}}&&&=3x({2x+1})-4({2x+1})&&\small{\gray{\text{부호를 정리합니다}}}\\ \\ \small{\blueD{(4)}}&&&=3x(\maroonD{2x+1})-4(\maroonD{2x+1})&&\small{\gray{\text{다른 공통인수가 생겼습니다}}}\\\\ \small{\blueD{(5)}}&&&=(\maroonD{2x+1})(3x-4)&&\small{\gray{2x+1\text{으로 묶어 냅니다}}}\\ \end{aligned}
인수분해된 형태는 left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, minus, 4, right parenthesis입니다.
인수들을 곱하면 6, x, squared, minus, 5, x, minus, 4가 되는 것을 확인할 수 있습니다.
주의: 위의 과정 start color #11accd, left parenthesis, 1, right parenthesis, end color #11accd 단계에서 세 번째 항의 계수가 음수이므로 처음 식과 동일해지도록 묶음 사이에 "+"기호를 넣었습니다. 또한 과정 start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd 단계에서는 공통인수 2, x, plus, 1을 찾기 위해 두 번째 묶음에서 음수인 공통인수를 밖으로 묶어 내었습니다. 기호 사용에 주의하세요.

이해했는지 확인하기

3) 2, x, squared, minus, 3, x, minus, 9 를 인수분해하세요.
정답을 한 개 고르세요:

4) 3, x, squared, minus, 2, x, minus, 5를 인수분해하세요.

5) 6, x, squared, minus, 13, x, plus, 6을 인수분해하세요.

이 방법은 언제 유용할까요?

이 방법은 a, does not equal, 1인 a, x, squared, plus, b, x, plus, c 형태의 이차식을 인수분해할 때 유용합니다.
그러나 이 방법으로 항상 이차식을 인수분해할 수 있는 것은 아닙니다.
예를 들어, start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 2, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 1, end color #aa87ff이 있습니다. 식을 인수분해하려면, 곱해서 start color #11accd, 2, end color #11accd, dot, start color #aa87ff, 1, end color #aa87ff, equals, 2이 되고 더해서 start color #e07d10, 2, end color #e07d10가 되는 두 정수를 찾아야 합니다. 하지만 이 조건을 만족하는 수는 찾을 수 없을 것입니다.
따라서, start color #11accd, 2, end color #11accd, x, squared, start color #e07d10, plus, 2, end color #e07d10, x, start color #aa87ff, plus, 1, end color #aa87ff이나 다른 이차식은 이 방법으로 인수분해할 수 없습니다.
이 방법을 쓸 수 없다는 것은, 식을 left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis 형태로 인수분해할 수 없다는 것입니다. 이때, A, B, C, D는 모두 정수입니다.

이 방법이 어떻게 적용될까요?

이 방법이 어떻게 적용되는지 생각해 봅시다. 문자가 많이 나올 거예요. 같이 한번 살펴봅시다.
이차식 a, x, squared, plus, b, x, plus, c는 left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, x, plus, start color #e07d10, B, end color #e07d10, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, C, end color #1fab54, x, plus, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis로 인수분해될 수 있다고 합시다. 여기서 A, B, C, D는 각각 정수입니다.
식을 정리하면 left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, x, squared, plus, left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, x, plus, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff와 같은 이차식을 얻을 수 있습니다.
정리한 식은 a, x, squared, plus, b, x, plus, c 의 형태와 비슷하므로, 두 식의 항의 계수들은 같아야 합니다. 따라서 문자 사이의 관계는 다음과 같습니다:
left parenthesis, start underbrace, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, end underbrace, start subscript, a, end subscript, right parenthesis, x, squared, plus, left parenthesis, start underbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end underbrace, start subscript, b, end subscript, right parenthesis, x, plus, left parenthesis, start underbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end underbrace, start subscript, c, end subscript, right parenthesis
m, equals, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, n, equals, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff라고 합시다.
left parenthesis, start underbrace, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, end underbrace, start subscript, a, end subscript, right parenthesis, x, squared, plus, left parenthesis, start underbrace, start overbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, end overbrace, start superscript, m, end superscript, plus, start overbrace, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end overbrace, start superscript, n, end superscript, end underbrace, start subscript, b, end subscript, right parenthesis, x, plus, left parenthesis, start underbrace, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, end underbrace, start subscript, c, end subscript, right parenthesis
이 정의에 따르면 다음과 같습니다.
m, plus, n, equals, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, equals, b
그리고
m, dot, n, equals, left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, a, dot, c
이 인수분해 방법을 이용했을 때 구해야 하는 두 개의 정수는 start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54와 start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff입니다.
m과 n을 찾은 후에는 x의 계수 left parenthesis, b, right parenthesis를 m과 n에 따라 분리하고 묶어서 인수분해를 해야 합니다.
x항인 left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, plus, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, x를 left parenthesis, start color #e07d10, B, end color #e07d10, start color #1fab54, C, end color #1fab54, right parenthesis, x, plus, left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis, x로 나눠준 뒤, 식을 left parenthesis, start color #11accd, A, end color #11accd, x, plus, start color #e07d10, B, end color #e07d10, right parenthesis, left parenthesis, start color #1fab54, C, end color #1fab54, x, plus, start color #aa87ff, D, end color #aa87ff, right parenthesis로 묶어서 인수분해할 수 있습니다.
따라서, 이번 단원에서는
  • 일반적인 전개식 a, x, squared, plus, b, x, plus, c와 일반적인 인수분해 형태 left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis를 배웠습니다.
  • m, n, equals, a, c와 m, plus, n, equals, b를 만족하는 m과 n 두 수를 찾았습니다 left parenthesis이때, m, equals, B, C, n, equals, A, D, right parenthesis.
  • x항인 b, x를 m, x, plus, n, x으로 분리하고, 전개식을 다시 left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis로 인수분해하였습니다.
이 과정을 통해 식을 left parenthesis, A, x, plus, B, right parenthesis, left parenthesis, C, x, plus, D, right parenthesis로 인수분해할 수 있을 때, 이 방법을 사용하면 인수분해를 확실히 할 수 있다는 것을 알 수 있습니다.
수고했습니다!

대화에 참여하고 싶으신가요?

로그인
포스트가 아직 없습니다.
영어를 잘 하시나요? 그렇다면, 이곳을 클릭하여 미국 칸아카데미에서 어떠한 토론이 진행되고 있는지 둘러 보세요.