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대수학 1

코스: 대수학 1 > 단원 13

단원 6: 묶어서 이차식 인수분해하기

이차식의 인수분해: 최고차항 계수 ≠ 1

이차식을 두 개의 일차식의 곱으로 나타내는 방법에 대해 학습합니다. 예를 들어, 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3) 입니다.

이 단원을 시작하기 전에 알아야 할 것

공통인수를 여러 번 밖으로 묶어내어 항이

4

개인 다항식을 인수분해할 수 있습니다. 처음 보는 내용이라면 묶어서 인수분해하기를 확인해 보세요.

이 단원을 시작하기 전에 이차식의 인수분해: 최고차항의 계수 = 1를 복습하는 것을 추천합니다.

이번 단원에서 배우는 것

이번 단원에서는

2 x^{2} + 7 x + 3

과 같이 최고차항의 계수가

1

이 아닌 이차방정식을 묶어서 인수분해하는 방법을 배울 것입니다.

연습문제 1: $2 x^{2} + 7 x + 3$ ‍ 인수분해 하기

(2 x^{2} + 7 x + 3)

의 최고차항 계수가

2

이므로, 곱셈공식을 이용해 이차식을 인수분해할 수 없습니다.

2 x^{2} + 7 x + 3

을 인수분해하려면, 곱해서

2 \cdot 3 = 6

(최고차항의 계수와 상수항의 곱)이 되고 더해서

7

(

x

항의 계수)이 되는 두 정수를 찾아야 합니다.

1 \cdot 6 = 6

과

1 + 6 = 7

이므로, 두 수는

1

과

6

입니다.

[이 수를 어떻게 찾았을까요?]

두 수는 처음 식의

x

항을 어떻게 분할할지 알려줍니다. 따라서 다항식을 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

2 x^{2} + 7 x + 3 = 2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3

묶어서 다항식을 인수분해할 수 있습니다:

\begin{aligned} 2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3 \\ = (2 x^{2} + 1 x) + (6 x + 3) & 두 항씩 묶어 줍니다 \\ = x (2 x + 1) + 3 (2 x + 1) & 공통인수로 묶어 냅니다 \\ = x (2 x + 1) + 3 (2 x + 1) & 다른 공통인수가 생겼습니다 \\ = (2 x + 1) (x + 3) & 2 x + 1 로 묶어 냅니다 \end{aligned}

인수분해된 형태는

(2 x + 1) (x + 3)

입니다.

[다항식의 순서를 바꿔 묶으면 어떻게 될까요?]

인수들을 곱하면

2 x^{2} + 7 x + 3

이 되는 것을 확인할 수 있습니다.

[확인하기]

요약하기

일반적으로 다음과 같은 단계로

a x^{2} + b x + c

형태의 이차식을 인수분해할 수 있습니다.

먼저 곱하면 $a c$ ‍이고, 더하면 $b$ ‍가 되는 두 수를 찾습니다.
두 수를 이용하여 $x$ ‍항을 분할합니다.
이차식을 묶어서 인수분해합니다.

이해했는지 확인하기

1) $3 x^{2} + 10 x + 8$ ‍을 인수분해하세요.

[풀이 보기]

2) $4 x^{2} + 16 x + 15$ ‍를 인수분해하세요.

[풀이 보기]

연습문제 2: $6 x^{2} - 5 x - 4$ ‍ 인수분해 하기

6 x^{2} - 5 x - 4

를 인수분해하려면, 곱해서

6 \cdot (- 4) = - 24

가 되고 더해서

- 5

가 되는 두 정수를 찾아야 합니다.

3 \cdot (- 8) = - 24

와

3 + (- 8) = - 5

이므로, 두 수는

3

과

- 8

입니다.

[이 수를 어떻게 찾을 수 있을까요?]

- 5 x

는

3 x + - 8 x

로 나눌 수 있으며, 묶어서 다항식을 인수분해할 수 있습니다:

$\begin{aligned} 6 x^{2} + 3 x - 8 x - 4 \\ (1) & = (6 x^{2} + 3 x) + (- 8 x - 4) & 두 항씩 묶어 줍니다 \\ (2) & = 3 x (2 x + 1) + (- 4) (2 x + 1) & 공통인수로 묶어 냅니다 \\ (3) & = 3 x (2 x + 1) - 4 (2 x + 1) & 부호를 정리합니다 \\ (4) & = 3 x (2 x + 1) - 4 (2 x + 1) & 다른 공통인수가 생겼습니다 \\ (5) & = (2 x + 1) (3 x - 4) & 2 x + 1 으로 묶어 냅니다 \end{aligned}$ ‍

인수분해된 형태는

(2 x + 1) (3 x - 4)

입니다.

인수들을 곱하면

6 x^{2} - 5 x - 4

가 되는 것을 확인할 수 있습니다.

[확인하기]

주의: 위의 과정

(1)

단계에서 세 번째 항의 계수가 음수이므로 처음 식과 동일해지도록 묶음 사이에 "+"기호를 넣었습니다. 또한 과정

(2)

단계에서는 공통인수

2 x + 1

을 찾기 위해 두 번째 묶음에서 음수인 공통인수를 밖으로 묶어 내었습니다. 기호 사용에 주의하세요.

이해했는지 확인하기

3) $2 x^{2} - 3 x - 9$ ‍ 를 인수분해하세요.

[풀이 보기]

4) $3 x^{2} - 2 x - 5$ ‍를 인수분해하세요.

[풀이 보기]

5) $6 x^{2} - 13 x + 6$ ‍을 인수분해하세요.

[풀이 보기]

이 방법은 언제 유용할까요?

이 방법은

a \neq 1

인

a x^{2} + b x + c

형태의 이차식을 인수분해할 때 유용합니다.

그러나 이 방법으로 항상 이차식을 인수분해할 수 있는 것은 아닙니다.

예를 들어,

2 x^{2} + 2 x + 1

이 있습니다. 식을 인수분해하려면, 곱해서

2 \cdot 1 = 2

이 되고 더해서

2

가 되는 두 정수를 찾아야 합니다. 하지만 이 조건을 만족하는 수는 찾을 수 없을 것입니다.

따라서,

2 x^{2} + 2 x + 1

이나 다른 이차식은 이 방법으로 인수분해할 수 없습니다.

이 방법을 쓸 수 없다는 것은, 식을

(A x + B) (C x + D)

형태로 인수분해할 수 없다는 것입니다. 이때,

A

B

C

D

는 모두 정수입니다.

이 방법이 어떻게 적용될까요?

이 방법이 어떻게 적용되는지 생각해 봅시다. 문자가 많이 나올 거예요. 같이 한번 살펴봅시다.

이차식

a x^{2} + b x + c

는

(A x + B) (C x + D)

로 인수분해될 수 있다고 합시다. 여기서

A

B

C

D

는 각각 정수입니다.

식을 정리하면

(A C) x^{2} + (B C + A D) x + B D

와 같은 이차식을 얻을 수 있습니다.

[식 전개 과정 보기]

정리한 식은

a x^{2} + b x + c

의 형태와 비슷하므로, 두 식의 항의 계수들은 같아야 합니다. 따라서 문자 사이의 관계는 다음과 같습니다:

(\underset{a}{\underset{⏟}{A C}}) x^{2} + (\underset{b}{\underset{⏟}{B C + A D}}) x + (\underset{c}{\underset{⏟}{B D}})

m = B C

n = A D

라고 합시다.

(\underset{a}{\underset{⏟}{A C}}) x^{2} + (\underset{b}{\underset{⏟}{\overset{m}{\overset{⏞}{B C}} + \overset{n}{\overset{⏞}{A D}}}}) x + (\underset{c}{\underset{⏟}{B D}})

이 정의에 따르면 다음과 같습니다.

m + n = B C + A D = b

그리고

m \cdot n = (B C) (A D) = (A C) (B D) = a \cdot c

이 인수분해 방법을 이용했을 때 구해야 하는 두 개의 정수는

B C

와

A D

입니다.

m

과

n

을 찾은 후에는

x

의 계수

(b)

를

m

과

n

에 따라 분리하고 묶어서 인수분해를 해야 합니다.

x

항인

(B C + A D) x

를

(B C) x + (A D) x

로 나눠준 뒤, 식을

(A x + B) (C x + D)

로 묶어서 인수분해할 수 있습니다.

[확인하기]

따라서, 이번 단원에서는

일반적인 전개식 $a x^{2} + b x + c$ ‍와 일반적인 인수분해 형태 $(A x + B) (C x + D)$ ‍를 배웠습니다.
$m n = a c$ ‍와 $m + n = b$ ‍를 만족하는 $m$ ‍과 $n$ ‍ 두 수를 찾았습니다 $($ ‍이때, $m = B C$ ‍, $n = A D)$ ‍.
$x$ ‍항인 $b x$ ‍를 $m x + n x$ ‍으로 분리하고, 전개식을 다시 $(A x + B) (C x + D)$ ‍로 인수분해하였습니다.

이 과정을 통해 식을

(A x + B) (C x + D)

로 인수분해할 수 있을 때, 이 방법을 사용하면 인수분해를 확실히 할 수 있다는 것을 알 수 있습니다.

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