주요 내용
대수학 1
이차식의 인수분해: 최고차항 계수 ≠ 1
이차식을 두 개의 일차식의 곱으로 나타내는 방법에 대해 학습합니다. 예를 들어, 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3) 입니다.
이 단원을 시작하기 전에 알아야 할 것
공통인수를 여러 번 밖으로 묶어내어 항이 개인 다항식을 인수분해할 수 있습니다. 처음 보는 내용이라면 묶어서 인수분해하기를 확인해 보세요.
이 단원을 시작하기 전에 이차식의 인수분해: 최고차항의 계수 = 1를 복습하는 것을 추천합니다.
이번 단원에서 배우는 것
이번 단원에서는 과 같이 최고차항의 계수가 이 아닌 이차방정식을 묶어서 인수분해하는 방법을 배울 것입니다.
연습문제 1: 인수분해 하기
두 수는 처음 식의 항을 어떻게 분할할지 알려줍니다. 따라서 다항식을 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
묶어서 다항식을 인수분해할 수 있습니다:
인수분해된 형태는 입니다.
인수들을 곱하면 이 되는 것을 확인할 수 있습니다.
요약하기
일반적으로 다음과 같은 단계로 형태의 이차식을 인수분해할 수 있습니다.
- 먼저 곱하면
이고, 더하면 가 되는 두 수를 찾습니다. - 두 수를 이용하여
항을 분할합니다. - 이차식을 묶어서 인수분해합니다.
이해했는지 확인하기
연습문제 2: 인수분해 하기
인수분해된 형태는 입니다.
인수들을 곱하면 가 되는 것을 확인할 수 있습니다.
주의: 위의 과정 단계에서 세 번째 항의 계수가 음수이므로 처음 식과 동일해지도록 묶음 사이에 "+"기호를 넣었습니다. 또한 과정 단계에서는 공통인수 을 찾기 위해 두 번째 묶음에서 음수인 공통인수를 밖으로 묶어 내었습니다. 기호 사용에 주의하세요.
이해했는지 확인하기
이 방법은 언제 유용할까요?
이 방법은 인 형태의 이차식을 인수분해할 때 유용합니다.
그러나 이 방법으로 항상 이차식을 인수분해할 수 있는 것은 아닙니다.
예를 들어, 이 있습니다. 식을 인수분해하려면, 곱해서 이 되고 더해서 가 되는 두 정수를 찾아야 합니다. 하지만 이 조건을 만족하는 수는 찾을 수 없을 것입니다.
따라서, 이나 다른 이차식은 이 방법으로 인수분해할 수 없습니다.
이 방법을 쓸 수 없다는 것은, 식을 형태로 인수분해할 수 없다는 것입니다. 이때, , , , 는 모두 정수입니다.
이 방법이 어떻게 적용될까요?
이 방법이 어떻게 적용되는지 생각해 봅시다. 문자가 많이 나올 거예요. 같이 한번 살펴봅시다.
이차식 는 로 인수분해될 수 있다고 합시다. 여기서 , , , 는 각각 정수입니다.
식을 정리하면 와 같은 이차식을 얻을 수 있습니다.
정리한 식은 의 형태와 비슷하므로, 두 식의 항의 계수들은 같아야 합니다. 따라서 문자 사이의 관계는 다음과 같습니다:
이 정의에 따르면 다음과 같습니다.
그리고
이 인수분해 방법을 이용했을 때 구해야 하는 두 개의 정수는 와 입니다.
따라서, 이번 단원에서는
- 일반적인 전개식
와 일반적인 인수분해 형태 를 배웠습니다. 와 를 만족하는 과 두 수를 찾았습니다 이때, , . 항인 를 으로 분리하고, 전개식을 다시 로 인수분해하였습니다.
이 과정을 통해 식을 로 인수분해할 수 있을 때, 이 방법을 사용하면 인수분해를 확실히 할 수 있다는 것을 알 수 있습니다.
수고했습니다!