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주요 내용

이차식의 인수분해: 최고차항 계수 ≠ 1

이차식을 두 개의 일차식의 곱으로 나타내는 방법에 대해 학습합니다. 예를 들어, 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3) 입니다.

이 단원을 시작하기 전에 알아야 할 것

공통인수를 여러 번 밖으로 묶어내어 항이 4개인 다항식을 인수분해할 수 있습니다. 처음 보는 내용이라면 묶어서 인수분해하기를 확인해 보세요.
이 단원을 시작하기 전에 이차식의 인수분해: 최고차항의 계수 = 1를 복습하는 것을 추천합니다.

이번 단원에서 배우는 것

이번 단원에서는 2x2+7x+3과 같이 최고차항의 계수가 1이 아닌 이차방정식을 묶어서 인수분해하는 방법을 배울 것입니다.

연습문제 1: 2x2+7x+3 인수분해 하기

(2x2+7x+3)의 최고차항 계수가 2이므로, 곱셈공식을 이용해 이차식을 인수분해할 수 없습니다.
2x2+7x+3을 인수분해하려면, 곱해서 23=6 (최고차항의 계수와 상수항의 곱)이 되고 더해서 7(x항의 계수)이 되는 두 정수를 찾아야 합니다.
16=61+6=7이므로, 두 수는16입니다.
두 수는 처음 식의 x항을 어떻게 분할할지 알려줍니다. 따라서 다항식을 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. 2x2+7x+3=2x2+1x+6x+3
묶어서 다항식을 인수분해할 수 있습니다:
=  2x2+1x+6x+3=(2x2+1x)+(6x+3)두 항씩 묶어 줍니다=x(2x+1)+3(2x+1)공통인수로 묶어 냅니다=x(2x+1)+3(2x+1)다른 공통인수가 생겼습니다=(2x+1)(x+3)2x+1로 묶어 냅니다
인수분해된 형태는 (2x+1)(x+3)입니다.
인수들을 곱하면 2x2+7x+3이 되는 것을 확인할 수 있습니다.

요약하기

일반적으로 다음과 같은 단계로 ax2+bx+c 형태의 이차식을 인수분해할 수 있습니다.
  1. 먼저 곱하면 ac이고, 더하면 b가 되는 두 수를 찾습니다.
  2. 두 수를 이용하여 x항을 분할합니다.
  3. 이차식을 묶어서 인수분해합니다.

이해했는지 확인하기

1) 3x2+10x+8을 인수분해하세요.
정답을 한 개 고르세요:

2) 4x2+16x+15를 인수분해하세요.

연습문제 2: 6x25x4 인수분해 하기

6x25x4를 인수분해하려면, 곱해서 6(4)=24가 되고 더해서 5가 되는 두 정수를 찾아야 합니다.
3(8)=243+(8)=5이므로, 두 수는 38입니다.
5x3x+8x로 나눌 수 있으며, 묶어서 다항식을 인수분해할 수 있습니다:
= 6x2+3x8x4(1)=(6x2+3x)+(8x4)두 항씩 묶어 줍니다(2)=3x(2x+1)+(4)(2x+1)공통인수로 묶어 냅니다(3)=3x(2x+1)4(2x+1)부호를 정리합니다(4)=3x(2x+1)4(2x+1)다른 공통인수가 생겼습니다(5)=(2x+1)(3x4)2x+1으로 묶어 냅니다
인수분해된 형태는 (2x+1)(3x4)입니다.
인수들을 곱하면 6x25x4가 되는 것을 확인할 수 있습니다.
주의: 위의 과정 (1) 단계에서 세 번째 항의 계수가 음수이므로 처음 식과 동일해지도록 묶음 사이에 "+"기호를 넣었습니다. 또한 과정 (2) 단계에서는 공통인수 2x+1을 찾기 위해 두 번째 묶음에서 음수인 공통인수를 밖으로 묶어 내었습니다. 기호 사용에 주의하세요.

이해했는지 확인하기

3) 2x23x9 를 인수분해하세요.
정답을 한 개 고르세요:

4) 3x22x5를 인수분해하세요.

5) 6x213x+6을 인수분해하세요.

이 방법은 언제 유용할까요?

이 방법은 a1ax2+bx+c 형태의 이차식을 인수분해할 때 유용합니다.
그러나 이 방법으로 항상 이차식을 인수분해할 수 있는 것은 아닙니다.
예를 들어, 2x2+2x+1이 있습니다. 식을 인수분해하려면, 곱해서 21=2이 되고 더해서 2가 되는 두 정수를 찾아야 합니다. 하지만 이 조건을 만족하는 수는 찾을 수 없을 것입니다.
따라서, 2x2+2x+1이나 다른 이차식은 이 방법으로 인수분해할 수 없습니다.
이 방법을 쓸 수 없다는 것은, 식을 (Ax+B)(Cx+D) 형태로 인수분해할 수 없다는 것입니다. 이때, A, B, C, D는 모두 정수입니다.

이 방법이 어떻게 적용될까요?

이 방법이 어떻게 적용되는지 생각해 봅시다. 문자가 많이 나올 거예요. 같이 한번 살펴봅시다.
이차식 ax2+bx+c(Ax+B)(Cx+D)로 인수분해될 수 있다고 합시다. 여기서 A, B, C, D는 각각 정수입니다.
식을 정리하면 (AC)x2+(BC+AD)x+BD와 같은 이차식을 얻을 수 있습니다.
정리한 식은 ax2+bx+c 의 형태와 비슷하므로, 두 식의 항의 계수들은 같아야 합니다. 따라서 문자 사이의 관계는 다음과 같습니다:
(ACa)x2+(BC+ADb)x+(BDc)
m=BC, n=AD라고 합시다.
(ACa)x2+(BCm+ADnb)x+(BDc)
이 정의에 따르면 다음과 같습니다.
m+n=BC+AD=b
그리고
mn=(BC)(AD)=(AC)(BD)=ac
이 인수분해 방법을 이용했을 때 구해야 하는 두 개의 정수는 BCAD입니다.
mn을 찾은 후에는 x의 계수 (b)mn에 따라 분리하고 묶어서 인수분해를 해야 합니다.
x항인 (BC+AD)x(BC)x+(AD)x로 나눠준 뒤, 식을 (Ax+B)(Cx+D)로 묶어서 인수분해할 수 있습니다.
따라서, 이번 단원에서는
  • 일반적인 전개식 ax2+bx+c와 일반적인 인수분해 형태 (Ax+B)(Cx+D)를 배웠습니다.
  • mn=acm+n=b를 만족하는 mn 두 수를 찾았습니다 (이때, m=BC, n=AD).
  • x항인 bxmx+nx으로 분리하고, 전개식을 다시 (Ax+B)(Cx+D)로 인수분해하였습니다.
이 과정을 통해 식을 (Ax+B)(Cx+D)로 인수분해할 수 있을 때, 이 방법을 사용하면 인수분해를 확실히 할 수 있다는 것을 알 수 있습니다.
수고했습니다!