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주요 내용

묶어서 인수분해하기

"공통인수"를 이용하여 인수분해 하는 방법에 대해 학습합니다. 예를 들어, 2x²+8x+3x+12 는 공통인수로 묶어서 (2x+3)(x+4) 로 나타낼 수 있습니다.

이 단원을 시작하기 전에 알아야 할 것들

다항식을 인수분해하는 것은 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 것입니다. 이것은 전개의 반대 과정입니다.
지금까지 인수분해 연습문제를 풀어 보았습니다. 이번 단원에서는 분배법칙을 이용한 공통인수로 다항식 인수분해하기를 활용해 봅시다. 6x2+4x=2x(3x+2) 를 먼저 이해했는지 확인해 보세요.

이번 단원에서 배우는 것

이번 단원에서는 공통인수를 이용한 인수분해 방법을 익혀보겠습니다.

예제 1: 2x2+8x+3x+12 인수분해하기

우선, 2x2+8x+3x+12 는 모든 항에 해당되는 공통인수가 없습니다. 하지만 처음 두 항과 마지막 두 항을 묶으면 각 묶음의 공통인수를 찾을 수 있습니다:
첫 번째 묶음의 공통인수는 2x 이고, 두 번째 묶음의 공통인수는 3 입니다. 이 인수를 밖으로 묶어 내면 다음과 같은 식이 나옵니다:
2x(x+4)+3(x+4)
두 항 사이에 다른 공통인수 x+4 가 나왔습니다. 이 공통인수를 분배법칙을 이용해 밖으로 묶어 내어 인수분해할 수 있습니다.
다항식은 이제 두 개의 이항식의 곱으로 나타나므로 인수분해되었습니다. 다시 전개하여 처음 다항식과 비교해 봅시다.

예제 2: 3x2+6x+4x+8 인수분해하기

다른 다항식을 인수분해하여 위의 내용을 요약해 봅시다.
=3x2+6x+4x+8=(3x2+6x)+(4x+8)두 항씩 묶습니다=3x(x+2)+4(x+2)공통인수로 묶어 냅니다=3x(x+2)+4(x+2)다른 공통인수가 생겼습니다=(x+2)(3x+4)x+2로 묶어 냅니다
인수분해된 형태는 (x+2)(3x+4) 입니다.

이해했는지 확인하기

1) 9x2+6x+12x+8 을 인수분해하세요.
정답을 한 개 고르세요:

2) 5x2+10x+2x+4 를 인수분해하세요.

3) 8x2+6x+4x+3 을 인수분해하세요.

예제 3: 3x26x4x+8 인수분해하기

계수가 음수인 다항식을 묶어서 인수분해할 때는 주의해야 합니다.
예를 들어, 3x26x4x+8 을 인수분해는 과정은 다음과 같습니다.
0=3x26x4x+8(1)=(3x26x)+(4x+8)항을 묶습니다(2)=3x(x2)+(4)(x2)공통인수를 밖으로 뺍니다(3)=3x(x2)4(x2)간단히 합니다(4)=3x(x2)4(x2)다른 공통인수가 생겼습니다(5)=(x2)(3x4)x2를 밖으로 뺍니다
다항식을 인수분해한 형태는 (x2)(3x4) 입니다. 이항식을 전개하여 확인할 수 있습니다.
위의 풀이 방법은 첫 번째 연습 문제와 다르게 보일 수도 있기 때문에, 몇 가지 의문점이 생길 것입니다.
괄호 사이에 있는 "+" 기호는 어디에서 나타났을까요?
풀이의 (1) 단계에서 (3x26x) 항과 (4x+8) 항 사이에 "+" 기호가 추가되었습니다. 그 이유는 세 번째 항 (4x) 가 음수이며, 이 항의 음의 기호는 묶음 안에 들어가야 하기 때문입니다.
두 번째 항에서 "-" 기호를 밖으로 빼는 것은 조금 까다롭습니다. 자주 실수하는 예로, 3x26x4x+8(3x26x)(4x+8) 로 묶는 경우가 있습니다. 이렇게 묶으면 수식을 간단히 했을 때 3x26x4x8 이 되며, 처음 식과 일치하지 않습니다.
왜 인수인 4 대신에 4 를 밖으로 묶어 낼까요?
과정 (2) 에서 공통인수가 (x2) 인 것을 밝히기 위해 인수 4 를 밖으로 묶어 내었습니다. 만약 양수 4를 밖으로 묶어 낸다면, 위와 같은 이항식 공통인수가 나오지 않습니다:
(3x26x)+(4x+8)=3x(x2)+4(x+2)
항 안에서 최고차항의 계수가 음수이면, 음수인 공통인수를 밖으로 묶어 내야 합니다.

이해했는지 확인하기

4) 2x23x4x+6 을 인수분해하세요.
정답을 한 개 고르세요:

5) 3x2+3x10x10 을 인수분해하세요.

6) 3x2+6xx2 를 인수분해하세요.

심화문제

7*) 2x3+10x2+3x+15 를 인수분해하세요.

공통인수로 인수분해하기는 언제 사용할 수 있을까요?

다항식을 공통인수로 인수분해하는 방법은 항 사이에 공통인수가 존재할 때 사용할 수 있습니다.
예를 들어, 3x2+9x+2x+6 을 공통인수로 묶으면 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
(3x2+9x)+(2x+6)=3x(x+3)+2(x+3)
그러나 2x2+3x+4x+12 의 경우에는 묶을 수 없습니다. 두 항씩 묶어도 공통인수가 없기 때문입니다.
(2x2+3x)+(4x+12)=x(2x+3)+4(x+3)

삼항식을 공통인수로 인수분해하기

삼항식인 이차방정식 2x2+7x+3 은 공통인수로 인수분해를 할 수 있습니다. 식을 다시 쓰면 다음과 같습니다:
2x2+7x+3=2x2+1x+6x+3
2x2+1x+6x+3 을 묶으면 (x+3)(2x+1) 로 인수분해할 수 있습니다.
삼항식을 공통인수로 묶어 인수분해하는 방법에 대해 더 배우고 싶다면 다음 단원을 확인하세요.

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