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대수학 1

코스: 대수학 1 > 단원 13

단원 6: 묶어서 이차식 인수분해하기

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묶어서 인수분해하기

구글 클래스룸

"공통인수"를 이용하여 인수분해 하는 방법에 대해 학습합니다. 예를 들어, 2x²+8x+3x+12 는 공통인수로 묶어서 (2x+3)(x+4) 로 나타낼 수 있습니다.

이 단원을 시작하기 전에 알아야 할 것들

다항식을 인수분해하는 것은 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 것입니다. 이것은 전개의 반대 과정입니다.

지금까지 인수분해 연습문제를 풀어 보았습니다. 이번 단원에서는 분배법칙을 이용한 공통인수로 다항식 인수분해하기를 활용해 봅시다.

6 x^{2} + 4 x = 2 x (3 x + 2)

를 먼저 이해했는지 확인해 보세요.

이번 단원에서 배우는 것

이번 단원에서는 공통인수를 이용한 인수분해 방법을 익혀보겠습니다.

예제 1: $2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12$ ‍ 인수분해하기

우선,

2 x^{2} + 8 x + 3 x + 12

는 모든 항에 해당되는 공통인수가 없습니다. 하지만 처음 두 항과 마지막 두 항을 묶으면 각 묶음의 공통인수를 찾을 수 있습니다:

첫 번째 묶음의 공통인수는

2 x

이고, 두 번째 묶음의 공통인수는

3

입니다. 이 인수를 밖으로 묶어 내면 다음과 같은 식이 나옵니다:

$2 x (x + 4) + 3 (x + 4)$ ‍

[어떻게 알았나요?]

두 항 사이에 다른 공통인수

x + 4

가 나왔습니다. 이 공통인수를 분배법칙을 이용해 밖으로 묶어 내어 인수분해할 수 있습니다.

다항식은 이제 두 개의 이항식의 곱으로 나타나므로 인수분해되었습니다. 다시 전개하여 처음 다항식과 비교해 봅시다.

예제 2: $3 x^{2} + 6 x + 4 x + 8$ ‍ 인수분해하기

다른 다항식을 인수분해하여 위의 내용을 요약해 봅시다.

\begin{aligned} 3 x^{2} + 6 x + 4 x + 8 \\ = (3 x^{2} + 6 x) + (4 x + 8) & 두 항씩 묶습니다 \\ = 3 x (x + 2) + 4 (x + 2) & 공통인수로 묶어 냅니다 \\ = 3 x (x + 2) + 4 (x + 2) & 다른 공통인수가 생겼습니다 \\ = (x + 2) (3 x + 4) & x + 2 로 묶어 냅니다 \end{aligned}

인수분해된 형태는

(x + 2) (3 x + 4)

입니다.

이해했는지 확인하기

1) $9 x^{2} + 6 x + 12 x + 8$ ‍ 을 인수분해하세요.

[풀이 보기]

2) $5 x^{2} + 10 x + 2 x + 4$ ‍ 를 인수분해하세요.

[풀이 보기]

3) $8 x^{2} + 6 x + 4 x + 3$ ‍ 을 인수분해하세요.

[풀이 보기]

예제 3: $3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8$ ‍ 인수분해하기

계수가 음수인 다항식을 묶어서 인수분해할 때는 주의해야 합니다.

예를 들어,

3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8

을 인수분해는 과정은 다음과 같습니다.

\begin{aligned} 3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8 \\ (1) & = (3 x^{2} - 6 x) + (- 4 x + 8) & 항을 묶습니다 \\ (2) & = 3 x (x - 2) + (- 4) (x - 2) & 공통인수를 밖으로 뺍니다 \\ (3) & = 3 x (x - 2) - 4 (x - 2) & 간단히 합니다 \\ (4) & = 3 x (x - 2) - 4 (x - 2) & 다른 공통인수가 생겼습니다 \\ (5) & = (x - 2) (3 x - 4) & x - 2 를 밖으로 뺍니다 \end{aligned}

다항식을 인수분해한 형태는

(x - 2) (3 x - 4)

입니다. 이항식을 전개하여 확인할 수 있습니다.

위의 풀이 방법은 첫 번째 연습 문제와 다르게 보일 수도 있기 때문에, 몇 가지 의문점이 생길 것입니다.

괄호 사이에 있는 "+" 기호는 어디에서 나타났을까요?

풀이의

(1)

단계에서

(3 x^{2} - 6 x)

항과

(- 4 x + 8)

항 사이에 "+" 기호가 추가되었습니다. 그 이유는 세 번째 항

(- 4 x)

가 음수이며, 이 항의 음의 기호는 묶음 안에 들어가야 하기 때문입니다.

두 번째 항에서 "-" 기호를 밖으로 빼는 것은 조금 까다롭습니다. 자주 실수하는 예로,

3 x^{2} - 6 x - 4 x + 8

을

(3 x^{2} - 6 x) - (4 x + 8)

로 묶는 경우가 있습니다. 이렇게 묶으면 수식을 간단히 했을 때

3 x^{2} - 6 x - 4 x - 8

이 되며, 처음 식과 일치하지 않습니다.

[설명 더 보기]

왜 인수인 $4$ ‍ 대신에 $- 4$ ‍ 를 밖으로 묶어 낼까요?

과정

(2)

에서 공통인수가

(x - 2)

인 것을 밝히기 위해 인수

- 4

를 밖으로 묶어 내었습니다. 만약 양수

4

를 밖으로 묶어 낸다면, 위와 같은 이항식 공통인수가 나오지 않습니다:

$\begin{aligned} (3 x^{2} - 6 x) + (- 4 x + 8) & = 3 x (x - 2) + 4 (- x + 2) \end{aligned}$ ‍

항 안에서 최고차항의 계수가 음수이면, 음수인 공통인수를 밖으로 묶어 내야 합니다.

이해했는지 확인하기

4) $2 x^{2} - 3 x - 4 x + 6$ ‍ 을 인수분해하세요.

[풀이 보기]

5) $3 x^{2} + 3 x - 10 x - 10$ ‍ 을 인수분해하세요.

[풀이 보기]

6) $3 x^{2} + 6 x - x - 2$ ‍ 를 인수분해하세요.

[풀이 보기]

심화문제

7*) $2 x^{3} + 10 x^{2} + 3 x + 15$ ‍ 를 인수분해하세요.

[풀이 보기]

공통인수로 인수분해하기는 언제 사용할 수 있을까요?

다항식을 공통인수로 인수분해하는 방법은 항 사이에 공통인수가 존재할 때 사용할 수 있습니다.

예를 들어,

3 x^{2} + 9 x + 2 x + 6

을 공통인수로 묶으면 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

$\begin{aligned} (3 x^{2} + 9 x) + (2 x + 6) & = 3 x (x + 3) + 2 (x + 3) \end{aligned}$ ‍

그러나

2 x^{2} + 3 x + 4 x + 12

의 경우에는 묶을 수 없습니다. 두 항씩 묶어도 공통인수가 없기 때문입니다.

$\begin{aligned} (2 x^{2} + 3 x) + (4 x + 12) & = x (2 x + 3) + 4 (x + 3) \end{aligned}$ ‍

삼항식을 공통인수로 인수분해하기

삼항식인 이차방정식

2 x^{2} + 7 x + 3

은 공통인수로 인수분해를 할 수 있습니다. 식을 다시 쓰면 다음과 같습니다:

$2 x^{2} + 7 x + 3 = 2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3$ ‍

2 x^{2} + 1 x + 6 x + 3

을 묶으면

(x + 3) (2 x + 1)

로 인수분해할 수 있습니다.

삼항식을 공통인수로 묶어 인수분해하는 방법에 대해 더 배우고 싶다면 다음 단원을 확인하세요.

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