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주요 내용

묶어서 인수분해하기

"공통인수"를 이용하여 인수분해 하는 방법에 대해 학습합니다. 예를 들어, 2x²+8x+3x+12 는 공통인수로 묶어서 (2x+3)(x+4) 로 나타낼 수 있습니다.

이 단원을 시작하기 전에 알아야 할 것들

다항식을 인수분해하는 것은 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타내는 것입니다. 이것은 전개의 반대 과정입니다.
지금까지 인수분해 연습문제를 풀어 보았습니다. 이번 단원에서는 분배법칙을 이용한 공통인수로 다항식 인수분해하기를 활용해 봅시다. 6, x, squared, plus, 4, x, equals, 2, x, left parenthesis, 3, x, plus, 2, right parenthesis 를 먼저 이해했는지 확인해 보세요.

이번 단원에서 배우는 것

이번 단원에서는 공통인수를 이용한 인수분해 방법을 익혀보겠습니다.

예제 1: 2, x, squared, plus, 8, x, plus, 3, x, plus, 12 인수분해하기

우선, 2, x, squared, plus, 8, x, plus, 3, x, plus, 12 는 모든 항에 해당되는 공통인수가 없습니다. 하지만 처음 두 항과 마지막 두 항을 묶으면 각 묶음의 공통인수를 찾을 수 있습니다:
첫 번째 묶음의 공통인수는 2, x 이고, 두 번째 묶음의 공통인수는 3 입니다. 이 인수를 밖으로 묶어 내면 다음과 같은 식이 나옵니다:
2, x, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, plus, 3, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis
두 항 사이에 다른 공통인수 start color #e07d10, x, plus, 4, end color #e07d10 가 나왔습니다. 이 공통인수를 분배법칙을 이용해 밖으로 묶어 내어 인수분해할 수 있습니다.
다항식은 이제 두 개의 이항식의 곱으로 나타나므로 인수분해되었습니다. 다시 전개하여 처음 다항식과 비교해 봅시다.

예제 2: 3, x, squared, plus, 6, x, plus, 4, x, plus, 8 인수분해하기

다른 다항식을 인수분해하여 위의 내용을 요약해 봅시다.
=3x2+6x+4x+8=(3x2+6x)+(4x+8)두 항씩 묶습니다=3x(x+2)+4(x+2)공통인수로 묶어 냅니다=3x(x+2)+4(x+2)다른 공통인수가 생겼습니다=(x+2)(3x+4)x+2로 묶어 냅니다\begin{aligned}&\phantom{=}3x^2+6x+4x+8\\\\ &=(3x^2+6x)+(4x+8)&&\small{\gray{\text{두 항씩 묶습니다}}}\\ \\ &=3x({x+2})+4({x+2})&&\small{\gray{\text{공통인수로 묶어 냅니다}}}\\ \\ &=3x(\goldD{x+2})+4(\goldD{x+2})&&\small{\gray{\text{다른 공통인수가 생겼습니다}}}\\\\ &=(\goldD{x+2})(3x+4)&&\small{\gray{ x+2 \text{로 묶어 냅니다}}} \end{aligned}
인수분해된 형태는 left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, plus, 4, right parenthesis 입니다.

이해했는지 확인하기

1) 9, x, squared, plus, 6, x, plus, 12, x, plus, 8 을 인수분해하세요.
정답을 한 개 고르세요:
정답을 한 개 고르세요:

2) 5, x, squared, plus, 10, x, plus, 2, x, plus, 4 를 인수분해하세요.

3) 8, x, squared, plus, 6, x, plus, 4, x, plus, 3 을 인수분해하세요.

예제 3: 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, plus, 8 인수분해하기

계수가 음수인 다항식을 묶어서 인수분해할 때는 주의해야 합니다.
예를 들어, 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, plus, 8 을 인수분해는 과정은 다음과 같습니다.
0=3x26x4x+8(1)=(3x26x)+(4x+8)항을 묶습니다(2)=3x(x2)+(4)(x2)공통인수를 밖으로 뺍니다(3)=3x(x2)4(x2)간단히 합니다(4)=3x(x2)4(x2)다른 공통인수가 생겼습니다(5)=(x2)(3x4)x2를 밖으로 뺍니다\begin{aligned}\phantom{0}&&&\phantom{=}3x^2-6x-4x+8\\\\ \small{\blueD{(1)}}&&&=(3x^2-6x)+(-4x+8)&&\small{\gray{\text{항을 묶습니다}}}\\\\ \small{\blueD{(2)}}&&&=3x(x-2)+(-4)(x-2)&&\small{\gray{\text{공통인수를 밖으로 뺍니다}}}\\\\ \small{\blueD{(3)}}&&&=3x(x-2)-4(x-2)&&\small{\gray{\text{간단히 합니다}}}\\\\ \small{\blueD{(4)}}&&&=3x(\goldD{x-2})-4(\goldD{x-2})&&\small{\gray{\text{다른 공통인수가 생겼습니다}}}\\\\ \small{\blueD{(5)}}&&&=(\goldD{x-2})(3x-4)&&\small{\gray{\text{$x-2$를 밖으로 뺍니다}}}\\\\ \end{aligned}
다항식을 인수분해한 형태는 left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, left parenthesis, 3, x, minus, 4, right parenthesis 입니다. 이항식을 전개하여 확인할 수 있습니다.
위의 풀이 방법은 첫 번째 연습 문제와 다르게 보일 수도 있기 때문에, 몇 가지 의문점이 생길 것입니다.
괄호 사이에 있는 "+" 기호는 어디에서 나타났을까요?
풀이의 start color #11accd, left parenthesis, 1, right parenthesis, end color #11accd 단계에서 left parenthesis, 3, x, squared, minus, 6, x, right parenthesis 항과 left parenthesis, minus, 4, x, plus, 8, right parenthesis 항 사이에 "+" 기호가 추가되었습니다. 그 이유는 세 번째 항 left parenthesis, minus, 4, x, right parenthesis 가 음수이며, 이 항의 음의 기호는 묶음 안에 들어가야 하기 때문입니다.
두 번째 항에서 "-" 기호를 밖으로 빼는 것은 조금 까다롭습니다. 자주 실수하는 예로, 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, plus, 8left parenthesis, 3, x, squared, minus, 6, x, right parenthesis, minus, left parenthesis, 4, x, plus, 8, right parenthesis 로 묶는 경우가 있습니다. 이렇게 묶으면 수식을 간단히 했을 때 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 4, x, start color #ca337c, minus, 8, end color #ca337c 이 되며, 처음 식과 일치하지 않습니다.
왜 인수인 4 대신에 minus, 4 를 밖으로 묶어 낼까요?
과정 start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd 에서 공통인수가 left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis 인 것을 밝히기 위해 인수 minus, 4 를 밖으로 묶어 내었습니다. 만약 양수 4를 밖으로 묶어 낸다면, 위와 같은 이항식 공통인수가 나오지 않습니다:
(3x26x)+(4x+8)=3x(x2)+4(x+2)\begin{aligned}(3x^2-6x)+(-4x+8)&=3x(\goldD{x-2})+4(\purpleC{-x+2})\\ \end{aligned}
항 안에서 최고차항의 계수가 음수이면, 음수인 공통인수를 밖으로 묶어 내야 합니다.

이해했는지 확인하기

4) 2, x, squared, minus, 3, x, minus, 4, x, plus, 6 을 인수분해하세요.
정답을 한 개 고르세요:
정답을 한 개 고르세요:

5) 3, x, squared, plus, 3, x, minus, 10, x, minus, 10 을 인수분해하세요.

6) 3, x, squared, plus, 6, x, minus, x, minus, 2 를 인수분해하세요.

심화문제

7*) 2, x, cubed, plus, 10, x, squared, plus, 3, x, plus, 15 를 인수분해하세요.

공통인수로 인수분해하기는 언제 사용할 수 있을까요?

다항식을 공통인수로 인수분해하는 방법은 항 사이에 공통인수가 존재할 때 사용할 수 있습니다.
예를 들어, 3, x, squared, plus, 9, x, plus, 2, x, plus, 6 을 공통인수로 묶으면 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
(3x2+9x)+(2x+6)=3x(x+3)+2(x+3)\begin{aligned}(3x^2+9x)+(2x+6)&=3x(\goldD{x+3})+2(\goldD{x+3})\\ \end{aligned}
그러나 2, x, squared, plus, 3, x, plus, 4, x, plus, 12 의 경우에는 묶을 수 없습니다. 두 항씩 묶어도 공통인수가 없기 때문입니다.
(2x2+3x)+(4x+12)=x(2x+3)+4(x+3)\begin{aligned}(2x^2+3x)+(4x+12)&=x(\goldD{2x+3})+4(\purpleC{x+3})\\ \end{aligned}

삼항식을 공통인수로 인수분해하기

삼항식인 이차방정식 2, x, squared, plus, 7, x, plus, 3 은 공통인수로 인수분해를 할 수 있습니다. 식을 다시 쓰면 다음과 같습니다:
2, x, squared, plus, start color #11accd, 7, end color #11accd, x, plus, 3, equals, 2, x, squared, plus, start color #11accd, 1, end color #11accd, x, plus, start color #11accd, 6, end color #11accd, x, plus, 3
2, x, squared, plus, start color #11accd, 1, end color #11accd, x, plus, start color #11accd, 6, end color #11accd, x, plus, 3 을 묶으면 left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, plus, 1, right parenthesis 로 인수분해할 수 있습니다.
삼항식을 공통인수로 묶어 인수분해하는 방법에 대해 더 배우고 싶다면 다음 단원을 확인하세요.

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