제곱의 차를 이용한 인수분해: 공통인수

이차식으로 표현된 m²-4m-45와 6m²-150이 공통된 이항식 인수를 가졌다고 합니다 어떤 이항식일까요? 항상 그렇듯이, 비디오를 잠시 멈추고 혼자 할 수 있는지 도전해 보세요 이제 같이 이 문제를 풀어보도록 합시다 지금부터 접근할 방식은, 두 식을 모두 이항식과 다른 것들로 인수분해하고 공통된 이항식 인수를 가지는지 보는 것입니다 이 식을 먼저 볼텐데요 m²-4m-45입니다 여기에 쓰도록 하죠 m²-4m-45 이런 이차식을 인수분해할 때는, 이 경우에는 이차항의 계수가, 즉 m²의 계수가 1이니까 이것을 인수분해할 때 (m+a)(m+b)와 같다고 놓아도 됩니다 여기서 a+b는 여기 이 계수, -4와 같을 것이고, a×b는 여기, -45와 같겠죠 더 명확히 써 봅시다 다른 색을 쓸게요 그래서 a+b=-4가 되고, 그래서 a+b=-4가 되고, a×b=-45가 됩니다 a×b=-45가 됩니다 이제 a×b에 집중해서 -45가 되려면 a와 b는 무엇이 되어야 할지 생각해 봅시다 두 수를 곱했는데 그 곱이 음수라면, 그 두 수가 서로 다른 부호를 가진다는 뜻이겠죠 또 두 수를 더했을 때 음수가 나온다는 사실에서 두 수 중 음수인 쪽이 더 큰 절댓값을 가진다고 볼 수 있습니다 이것에 대해 생각해 봅시다 a×b=-45이고, 몇몇 값들을 시도해 볼까요 1과 45, 이것들은 너무 멀리 떨어져 있죠 어디 봅시다 3과 15, 이것들도 아직 너무 먼데요 5와 9는, 흥미롭네요 우리가 가정한다면, 5에다가 -9를 곱한 것이라고 하면 5에다가 -9를 곱한 것이라고 하면 -45가 되네요 그리고 5와 -9를 더하면 -4가 됩니다 그러면 a=5가 되고 b=-9가 될 수 있겠네요 그러므로 이 식을 인수분해하면, (m+5)에 m+(-9), 즉 (m-9)를 곱한 것입니다 이렇게 지금까지 첫 번째 이차식을 두 이항식의 곱으로 인수분해해 보았습니다 이제 다른 이차식을 인수분해해 봅시다 6m²-150말이죠 보니까, 첫 번째로 하고싶은 것은 6m²과 150 모두 6으로 나누어떨어지니까 잠시 써볼게요 6m²에서, 6은 150에 25번 들어가네요 제가 한 것은 이 식을 다시 쓴 것 뿐이네요 150을 6×25로 다시 썼을 뿐입니다 이제는 식을 6으로 나눌 수 있다는 것이 명확히 보입니다 6으로 묶는 것으로 볼 수 있겠네요 이제 이 식은 6(m²-25)가 됩니다 합차 공식이네요 그럼 6 곱하기, (m+5)(m-5)입니다 이렇게 이 식도 인수분해해서 이항식과 6이라는 상수 계수로 나타냈습니다 그러면, 문제에서 물어보았던 공통 이항식 인수는 무엇일까요? 인수분해하니 보이네요 둘 모두 (m-5)를 인수로 가지죠 따라서 (m-5)가 두 식의 공통된 이항식 인수입니다