in second last question, why we have to subtract 2 first? not divide by 4?

it needed a correctly quadratics form due to taking square roots. 4(x-1)^2 = 36 (x-1)^2 = 9 x-1 = +/- 3

주요 내용

대수학 1

코스: 대수학 1 > 단원 14

단원 3: 제곱근을 취하여 해결하기

근호를 씌워서 이차방정식 풀기

구글 클래스룸

x²=36 또는 (x-2)²=49와 같은 이차방정식을 푸는 방법에 대해 공부해 봅시다.

이 단원을 시작하기 전에 알아야 할 것

이번 단원에서 배우는 것

지금까지 상수항과 x, start superscript, 1, end superscript, equals, x와 같이 지수가 1인 변수 x항이 있는 일차방정식을 풀어 보았습니다.

이제부터 x, squared 항이 있는 이차방정식을 푸는 방법을 배울 것입니다.

이제 곧 배우게 될 이차방정식 예제입니다:

x, squared, equals, 36

left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49

[왜 이차방정식일까요?]

2, x, squared, plus, 3, equals, 131

그러면 이제 시작해 봅시다.

x, squared, equals, 36 과 비슷한 유형의 방정식 해 구하기

x, squared, equals, 36 의 해를 구하려고 합니다. 우선 문제가 요구하는 것을 말로 풀어 봅시다. 제곱했을 때 36이 되는 수는 무엇인가요?

문제가 익숙하게 느껴지죠? 이것이 36의 제곱근을 정의한 것이기 때문입니다. 36의 제곱근을 수학적으로 표현하면 square root of, 36, end square root입니다.

다음은 방정식의 해를 구하는 방법입니다:

$\begin{aligned}x^2&=36\\\\ \sqrt{x^2}&=\pm\sqrt{36}&&\text{근호를 씌웁니다.}\\\\ x&=\pm 6\end{aligned}$

풀이를 자세히 살펴봅시다.

plus minus 기호의 의미

모든 양수의 제곱근은 양의 제곱근과 음의 제곱근 두개입니다. 예를 들어, 6과 minus, 6은 제곱했을 때 모두 36이 되므로, 이 방정식의 해는 두개입니다.

plus minus는 이 개념을 수학적으로 간편하게 나타내기 위한 방법입니다. 예를 들어, plus minus, 6은 "6과 minus, 6"을 의미합니다.

역연산을 할 때 주의사항

일차방정식을 풀 때, 역연산을 이용해 변수를 분리합니다: 만약 변수에 3 이 더해져있다면, 양변에서 3을 빼줍니다. 만약 변수에 4 가 곱해져있다면, 양변을 4로 나눠줍니다.

제곱의 역연산은 근호를 씌우는 것입니다. 하지만, 다른 연산과 다르게 근호를 씌울 때는 양의 제곱근과 음의 제곱근을 모두 구해야 합니다.

위와 비슷한 문제들을 연습해 보세요.

x, squared, equals, 16 의 해를 구하세요.

x, equals, plus minus

[풀이 보기]

x, squared, equals, 81 의 해를 구하세요.

x, equals, plus minus

[풀이 보기]

x, squared, equals, 5 의 해를 구하세요.

[풀이 보기]

left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49 와 비슷한 유형의 방정식 해 구하기

left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49 의 해를 구해 봅시다:

$\begin{aligned}(x-2)^2&=49\\\\ \sqrt{(x-2)^2}&=\pm\sqrt{49}&&\text{근호를 씌웁니다.}\\\\ x-2&=\pm 7\\\\ x&=\pm 7+2&&\text{2를 더합니다.}\end{aligned}$

따라서, 해는 x, equals, 9, x, equals, minus, 5.

풀이를 자세히 살펴봅시다.

x 분리하기

제곱근의 역연산을 사용해서 제곱 기호를 제거했습니다. x 를 분리하기 위한 중요한 과정이지만, 확실히 x 를 분리하려면 2 를 더하는 마지막 과정을 한 번 더 거쳐야 합니다.

해 이해하기

풀이는 x, equals, plus minus, 7, plus, 2 에서 끝납니다. 이 식을 어떻게 이해할 수 있을까요? plus minus, 7 는 "plus, 7과 minus, 7" 을 의미한다는 사실을 기억하시나요? 따라서, 답은 x, equals, 7, plus, 2 와 x, equals, minus, 7, plus, 2 두 가지 경우로 나뉘어야 합니다.

계산하면 해는 x, equals, 9. x, equals, minus, 5.

[해가 맞는지 확인하기.]

위와 비슷한 문제들을 연습해 보세요.

left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, squared, equals, 25 의 해를 구하세요.

[풀이 보기]

left parenthesis, 2, x, minus, 1, right parenthesis, squared, equals, 9 의 해를 구하세요.

[풀이 보기]

left parenthesis, x, minus, 5, right parenthesis, squared, equals, 7 의 해를 구하세요.

(A 선택)
x, equals, square root of, 7, end square root, plus, 5, x, equals, minus, square root of, 7, end square root, plus, 5
(B 선택)
x, equals, square root of, 7, end square root, plus, 5, x, equals, square root of, 7, end square root, minus, 5
(C 선택)
x, equals, square root of, 5, end square root, plus, 7, x, equals, minus, square root of, 5, end square root, plus, 7
(D 선택)
x, equals, 12, x, equals, minus, 2

[풀이 보기]

괄호를 전개하면 안되는 이유

다시 예제의 left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared, equals, 49 로 돌아갑시다. 이 식의 괄호를 전개한다고 가정해 봅시다. 일차방정식을 풀 때도 전개를 합니다. 그렇죠?

괄호를 전개하면 다음과 같습니다:

x, squared, minus, 4, x, plus, 4, equals, 49

이 식에 근호를 씌운다면 x 의 제곱근을 얻을 것입니다. 하지만 square root of, x, end square root 는 문제를 푸는 데 도움이 되지 않습니다.

반대로, x, squared 또는 left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, squared 과 같은 식에 근호를 씌우면 x 나 left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis 와 같이 보기 좋은 식이 나옵니다.

그러므로, 이런 식으로 이차방정식을 인수분해 하면 쉽게 풀 수 있습니다.

2, x, squared, plus, 3, equals, 131 과 비슷한 유형의 방정식 해 구하기

모든 이차방정식이 근호를 씌운다고 바로 풀 수 있는 것은 아닙니다. 제곱근을 취하기 전에 제곱된 항을 분리해야 될 때도 있습니다.

예를 들어, 2, x, squared, plus, 3, equals, 131 을 풀기 전에 먼저 x, squared 을 분리해야 합니다. 일차방정식에서 x항을 분리했던 것과 같습니다.

$\begin{aligned}2x^2+3&=131\\\\ 2x^2&=128&&\text{3을 뺍니다.}\\\\ x^2&=64&&\text{2로 나눕니다.}\\\\ \sqrt{x^2}&=\pm\sqrt{64}&&\text{근호를 씌웁니다.}\\\\ x&=\pm 8\end{aligned}$