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주요 내용

근호를 씌워서 이차방정식 풀기

x²=36 또는 (x-2)²=49와 같은 이차방정식을 푸는 방법에 대해 공부해 봅시다.

이 단원을 시작하기 전에 알아야 할 것

이번 단원에서 배우는 것

지금까지 상수항과 x1=x와 같이 지수가 1인 변수 x항이 있는 일차방정식을 풀어 보았습니다.
이제부터 x2 항이 있는 이차방정식을 푸는 방법을 배울 것입니다.
이제 곧 배우게 될 이차방정식 예제입니다:
x2=36
(x2)2=49
2x2+3=131
그러면 이제 시작해 봅시다.

x2=36 과 비슷한 유형의 방정식 해 구하기

x2=36 의 해를 구하려고 합니다. 우선 문제가 요구하는 것을 말로 풀어 봅시다. 제곱했을 때 36이 되는 수는 무엇인가요?
문제가 익숙하게 느껴지죠? 이것이 36의 제곱근을 정의한 것이기 때문입니다. 36의 제곱근을 수학적으로 표현하면 36입니다.
다음은 방정식의 해를 구하는 방법입니다:
x2=36x2=±36근호를 씌웁니다.x=±6
풀이를 자세히 살펴봅시다.

± 기호의 의미

모든 양수의 제곱근은 양의 제곱근과 음의 제곱근 두개입니다. 예를 들어, 66은 제곱했을 때 모두 36이 되므로, 이 방정식의 해는 두개입니다.
±는 이 개념을 수학적으로 간편하게 나타내기 위한 방법입니다. 예를 들어, ±6은 "66"을 의미합니다.

역연산을 할 때 주의사항

일차방정식을 풀 때, 역연산을 이용해 변수를 분리합니다: 만약 변수에 3 이 더해져있다면, 양변에서 3빼줍니다. 만약 변수에 4 가 곱해져있다면, 양변을 4나눠줍니다.
제곱의 역연산은 근호를 씌우는 것입니다. 하지만, 다른 연산과 다르게 근호를 씌울 때는 양의 제곱근과 음의 제곱근을 모두 구해야 합니다.
위와 비슷한 문제들을 연습해 보세요.
x2=16 의 해를 구하세요.
x=±
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.

x2=81 의 해를 구하세요.
x=±
  • 정답은
  • 정수(예: 6) 형태로 나타내세요.
  • 분수를 기약분수(예: 3/5) 형태로 나타내세요.
  • 분수(예: 7/4) 형태로 나타내세요.
  • 대분수(예: 1 3/4) 형태로 나타내세요.
  • 어림값이 아닌 정확한 소수(예: 0.75)로 나타내세요.
  • 파이의 배수(예: 12 pi 또는 2/3 pi) 형태로 나타내세요.

x2=5 의 해를 구하세요.
정답을 한 개 고르세요:

(x2)2=49 와 비슷한 유형의 방정식 해 구하기

(x2)2=49 의 해를 구해 봅시다:
(x2)2=49(x2)2=±49근호를 씌웁니다.x2=±7x=±7+22를 더합니다.
따라서, 해는 x=9, x=5.
풀이를 자세히 살펴봅시다.

x 분리하기

제곱근의 역연산을 사용해서 제곱 기호를 제거했습니다. x 를 분리하기 위한 중요한 과정이지만, 확실히 x 를 분리하려면 2 를 더하는 마지막 과정을 한 번 더 거쳐야 합니다.

해 이해하기

풀이는 x=±7+2 에서 끝납니다. 이 식을 어떻게 이해할 수 있을까요? ±7 는 "+77" 을 의미한다는 사실을 기억하시나요? 따라서, 답은 x=7+2x=7+2 두 가지 경우로 나뉘어야 합니다.
계산하면 해는 x=9. x=5.
위와 비슷한 문제들을 연습해 보세요.
(x+3)2=25 의 해를 구하세요.
정답을 한 개 고르세요:

(2x1)2=9 의 해를 구하세요.
정답을 한 개 고르세요:

(x5)2=7 의 해를 구하세요.
정답을 한 개 고르세요:

괄호를 전개하면 안되는 이유

다시 예제의 (x2)2=49 로 돌아갑시다. 이 식의 괄호를 전개한다고 가정해 봅시다. 일차방정식을 풀 때도 전개를 합니다. 그렇죠?
괄호를 전개하면 다음과 같습니다:
x24x+4=49
이 식에 근호를 씌운다면 x 의 제곱근을 얻을 것입니다. 하지만 x 는 문제를 푸는 데 도움이 되지 않습니다.
반대로, x2 또는 (x2)2 과 같은 식에 근호를 씌우면 x(x2) 와 같이 보기 좋은 식이 나옵니다.
그러므로, 이런 식으로 이차방정식을 인수분해 하면 쉽게 풀 수 있습니다.

2x2+3=131 과 비슷한 유형의 방정식 해 구하기

모든 이차방정식이 근호를 씌운다고 바로 풀 수 있는 것은 아닙니다. 제곱근을 취하기 전에 제곱된 항을 분리해야 될 때도 있습니다.
예를 들어, 2x2+3=131 을 풀기 전에 먼저 x2 을 분리해야 합니다. 일차방정식에서 x항을 분리했던 것과 같습니다.
2x2+3=1312x2=1283을 뺍니다.x2=642로 나눕니다.x2=±64근호를 씌웁니다.x=±8
위와 비슷한 문제들을 연습해 보세요.
3x27=5 의 해를 구하세요.
정답을 한 개 고르세요:

4(x1)2+2=38 의 해를 구하세요.
정답을 한 개 고르세요:

심화문제

x2+8x+16=9 의 해를 구하세요.
정답을 한 개 고르세요:

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