포물선의 크기 변화와 대칭

함수 g는 함수 f(x) = x²을 변형한 형태입니다 g(x)의 식을 구해 봅시다 동영상을 멈추고 직접 풀어 보세요 같이 해 볼까요? 그래프를 보면 함수 g는 x축에 대해 대칭되었으며 크기가 좀 더 커졌습니다 차례차례 풀어 봅시다 먼저 그래프를 x축에 대해 대칭시켜 볼게요 이를 그림으로 나타내 봅시다 x가 0일 때 y도 똑같이 0이겠죠 x가 -1일 때 y는 1이었지만 이제는 -1이 됩니다 x가 1일 때 y는 1² = 1이었지만 이제 -1이 됩니다 그래프를 뒤집으면 이렇게 생길 거예요 x가 -2일 때 y는 4였지만 이제 -4가 됩니다 그러므로 이렇게 그려지겠죠 f(x)의 그래프를 x축에 대해 뒤집어보면 뒤집기 전의 x값에 대한 y값은 이제 정반대의 수 또는 음수가 됩니다 따라서 초록색 함수의 식은 y = -f(x)가 되겠죠 이는 y = -x²과 같습니다 x가 어떤 값이든 제곱한 뒤에 음의 부호를 붙여 줍니다 그래프를 보면 확인할 수 있죠 이 그래프가 x축에 대해 뒤집은 그래프입니다 하지만 이 그래프는 g(x)를 나타내지 않습니다 g(x)는 이 그래프에서 수평으로 늘어나야 합니다 어떤 수를 곱해야 이 그래프가 g(x)가 되는지 생각해 봅시다 가장 좋은 방법은 g(x) 위에 있는 점을 하나 고르는 거예요 이미 점 한 개가 주어졌죠? g(x) 위의 점 (2, -1)이 주어졌습니다 g(x)에서는 x가 2일 때 y는 -1이 됩니다 따라서 g(2) = -1이 되는 것이죠 초록색 함수를 보면 x가 2일 때 y는 -4가 됩니다 그러므로 초록색 함수에 1/4을 곱하면 g(x)가 될 수도 있겠네요 정말 이렇게 되는지 한번 1/4을 곱해 봅시다 1/4만큼 크기를 늘려줍니다 그러면 식은 y = (-1/4)x²가 되겠네요 왜 1/4을 곱했을까요? x가 2일 때를 봅시다 초록색 함수에서는 x가 2일 때 y는 -4가 됩니다 하지만 x가 2일 때 y는 -1이 되어야 하죠 -1은 -4의 1/4이므로 초록색 함수에 1/4을 곱해주면 g(x)가 될 거예요 식을 올바르게 구했는지 확인해 봅시다 x가 0일 때 y는 0이 되므로 성립하네요 x가 1일 때 y는 -1/4 · 1² = -1/4입니다 그래프에서 확인할 수 있죠 x가 2일 때 y는 -1/4 · 2² = -1이므로 역시 그래프에서 확인할 수 있어요 이번에는 그래프 위의 이 점을 이용해 봅시다 x가 4일 때 4² = 16이죠? -1/4 · 16 = -4이므로 y는 -4가 됩니다 x가 음수일 때도 성립합니다 이렇게 함수 g(x)의 식을 구해 보았습니다 g(x) = (-1/4)x²입니다 이렇게 그래프의 크기를 음수만큼 변형해주었어요 음의 부호는 x축에 대해 뒤집었다는 것을 의미하며 여기에 곱한 1/4은 절댓값이 1보다 작으므로 그래프는 좀 더 넓어질 거예요 곱해진 값의 절댓값이 1보다 크다면 수직 방향으로 늘어나거나 수평 방향으로 줄어들 거예요