포물선의 이동

함수 g는 함수 f(x) = x²을 변형시킨 것입니다 g(x)의 식을 구해 봅시다 동영상을 잠시 멈추고 직접 구해 보세요 함수 또는 포물선의 위치를 옮겨야 할 때는 특정한 점을 찾아야 합니다 포물선에서는 주로 꼭짓점이 특정한 점이 됩니다 f(x)의 꼭짓점을 오른쪽으로 3칸 이동하고 아래로 4칸 이동하면 g(x)의 꼭짓점과 겹치게 됩니다 f(x)의 꼭짓점이 g(x)의 꼭짓점과 같아지죠 좀 더 잘 보이도록 점으로 표시해 볼게요 수직 방향으로 -4만큼 이동했습니다 이렇게 하면 포물선의 꼭짓점만 겹치는 것이 아니라 포물선 전체도 완전히 겹쳐지게 됩니다 여기에 정리해 볼게요 먼저 오른쪽으로 3만큼 이동했죠? 이 식이 어떻게 변하는지 살펴볼 거예요 그 다음 아래로 4만큼 이동했습니다 다른 동영상에서 이런 풀이 방법을 본 적이 있을 거예요 보통 오른쪽으로 어떤 값만큼 이동했을 경우 이 문제에서는 오른쪽으로 3만큼 이동했죠? 그럴 때, x는 x - 3이 됩니다 이를 y = f(x - 3)으로 볼 수도 있지만 f(x) = x²의 x에 x - 3을 대입해서 y = (x - 3)²이라고 쓸 수도 있습니다 이 개념을 보면 조금 이상하다고 생각될 거예요 오른쪽으로 3만큼 이동했으므로 x좌표는 3만큼 증가했는데 x 대신 x - 3을 대입해줬죠? 왜 x - 3을 대입했을까요? 이동한 그래프를 그려 봅시다 다른 동영상에서 이 내용을 좀 더 자세히 다룰 거예요 여기서는 예제를 주로 풀어볼 것입니다 포물선을 옮기면 이렇게 될 거예요 x가 3일 때 어떻게 되는지 살펴봅시다 x가 0일 때는 y값도 같았습니다 처음의 함수 f(x)에서는 x가 0일 때 y도 0이 되었죠 만약 y가 계속 0이 되길 원한다면 0을 제곱하면 됩니다 0을 제곱하려면 x에서 3을 빼주면 되겠죠 다른 점의 좌표도 구할 수 있습니다 x가 4일 때를 생각해 봅시다 y = (4 - 3)²은 1²이므로 y는 1이 됩니다 처음 함수에서 x가 1일 때 y가 1이 되었었죠 그러므로 그래프를 오른쪽으로 3만큼 이동했다면 x 대신 x - 3을 써 줘야 하는 것입니다 만약 x 대신 x + 3을 썼다면 이와 반대의 일이 생길 거예요 왼쪽으로 3만큼 이동하겠죠 왜 이렇게 되는지 한번 생각해 보세요 그래프를 오른쪽으로 3만큼 이동했으니 이제 아래로 4만큼 이동해 봅시다 먼저 오른쪽으로 3만큼 이동했으므로 식은 y = (x - 3)²이 되겠죠 이동한 그래프의 y값은 남색 그래프의 y값보다 4만큼 작을 거예요 x가 3일 때 y는 0이었지만 이제 y는 4만큼 적은 -4가 될 것입니다 x가 4일 때 y는 1이었지만 이제 -3이 될 거예요 따라서 y값이 무엇이든 이전보다 4만큼 적어질 거예요 수직 방향으로 이동하는 것은 좀 더 어려워요 아래로 이동하면 이동한만큼 빼줘야 하고 위로 이동하면 이동한만큼 더해줘야 합니다 따라서 이 식이 g(x)의 식입니다 g(x) = (x - 3)² - 4 이 식에서 x - 3은 오른쪽으로 3만큼 이동한 것을 의미하고 그리고 4를 뺀 것은 아래로 4만큼 이동한 것을 의미합니다 이 식이 이동한 그래프를 나타냅니다 남색 그래프의 점을 아래로 4만큼 이동해보면 g(x)의 그래프와 완벽하게 겹친다는 것을 확인할 수 있습니다