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주요 내용

치환을 이용하여 이차방정식 풀기

(2x-3)^2=4x-6 에서 2x-3 을 p로 치환하여 p^2=2p 로 만들어 풀어 봅시다.

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동영상 대본

주어진 방정식의 해를 찾아봅시다 (2x-3)의 제곱이 4x-6 과 같다는 방정식이 있습니다 잠시 영상을 일시정지하고 한번 풀어보세요 약간의 힌트를 주자면 이 방정식의 좌변을 전개해서 일반적인 이차방정식의 형태로 고쳐서 풀 수도 있지만 더 빠르고 간단한 방법이 있을지도 모릅니다 주어진 식의 양변의 구조에 집중한다면 그 방법이 보일겁니다 자 이제 풀어봅시다 좌변에 (2x-3)^2 가 있고 우변에 4x-6 이 있습니다 4x-6 은 2x-3 의 두배입니다 자 식으로 한번 써보겠습니다 (2x-3)^2 = 4x-6 라는 식에서 좌변의 공통인수 2로 묶어내면 2(2x-3) 으로 적을 수 있습니다 여기서 재밌는건 무언가의 제곱이 무언가의 2배와 같다는 것입니다 자 그럼 무언가를 찾아봅시다 그러니까 파란줄의 제곱이 2배의 파란줄이라는 겁니다 만약 우리가 파란줄이 무엇인지 찾아낼 수 있다면 x도 찾을 수 있을 겁니다 이제 그 과정을 보여드리겠습니다 자 일단 2x-3 을 치환합시다 식을 간단하게 바꾸기 위해서 2x-3 을 p로 치환하겠습니다 그럼 p^2=2p 라고 쓸 수 있습니다 자 이 등식은 꽤 간단해졌습니다 좌변인 p의 제곱이 2p와 같다는 것입니다 우리가 2x-3을 p로 치환했기때문에 우변의 2x-3도 p로 바꿔줄 수 있습니다 이제 우리는 p를 찾기만 하면 됩니다 이제 색깔을 하나만 쓰도록 하겠습니다 만약 우리가 양변에서 2p를 뺀다면 p^2-2p=0 이라는 식을 만들 수 있습니다 공통인수인 p로 묶어내면 그럼 p(p-2)=0 이라는 식을 얻을 수 있습니다 자 이런 꼴의 식은 자주 봤죠? 두 수를 곱했더니 0이 나왔다는 말은 그 둘 중 하나는 반드시 0이어야 합니다 그러므로 p가 0이거나 p-2 가 0이어야 합니다 만약 p-2 가 0이라면 p는 2입니다 만약 p가 0이면 p가 0이겠죠 아직 문제를 다 푼게 아닙니다 우리는 p를 구하는 것이 아니라 x를 구하고 있기때문에 끝까지 풀어야합니다 다행스럽게도 우리는 2x-3 = p 라는 사실을 알고 있습니다 그러므로 이제 2x-3 즉 p가 0이 되거나 2x-3 즉 p가 2가 된다는 것을 알 수 있습니다 자 이제 아주 간단하게 x를 구할 수 있습니다 양변에 3을 더하면 2x=3 이라는 식이 나옵니다 양변을 2로 나누면 x=3/2 라는 값이 하나나오고 옆에 있는 식에서 양변에 3을 더하면 2x=5 라는 식이 나옵니다 양변을 2로 나누면 x=5/2 라는 값이 나옵니다 이 두가지 값들이 이 방정식의 해(근)이 됩니다 꽤 간단한 수가 나왔네요 p^2=2p 라는 식은 거의 암산으로도 풀 수 있겠네요 답이 참 간단하고 예쁘게 나오는 문제였습니다 만약 좌변의 완전제곱식을 전개하고 나서 우변을 다 좌변으로 넘겨서 계산했더라면 훨씬 복잡한 문제가 되었을 겁니다 답은 맞출 수 있었겠지만 훨씬 많은 단계들을 거쳐야했을겁니다 그러나 우리는 이 식에서 2x-3 같은 공통된 형태를 잘 찾아서 2x-3 전체가 제곱되어서 같은 2x-3 의 2배가 되었다는 것을 알아차렸기에 문제를 조금 더 쉽게 해결했습니다