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주요 내용

인수분해를 이용하여 이차방정식 풀기: 최고차 항의 계수 ≠ 1

동영상 대본

6x² - 120x + 600 = 0이라는 식이 있습니다 동영상을 잠시 멈추고 이 식을 만족하는 해를 구해 보세요 같이 풀어 볼까요? 문제를 보니 잘 하면 쉽게 풀 수 있겠네요 인수분해가 될 수도 있으니 한번 해 봅시다 먼저 최고차 항의 계수를 1로 만들 수 있을까요? 최고차 항은 x² 항입니다 식을 보니 모든 항이 6으로 나누어떨어지겠네요 양변을 6으로 나누면 모든 계수들이 좀 더 간단한 정수가 될 거예요 양변을 6으로 나눠 봅시다 먼저 좌변을 6으로 나눠주고 우변도 6으로 나눠줍니다 양변을 똑같이 6으로 나눠줬으므로 등식은 여전히 성립합니다 좌변의 6x²을 6으로 나누면 x²이 남죠 -120x를 6으로 나눠 봅시다 120을 6으로 나누면 20이 되므로 -20x가 됩니다 600을 6으로 나누면 100이므로 상수항은 100이 됩니다 식의 우변에서 0/6은 0이 됩니다 이제 이 이차방정식을 두 식의 곱으로 인수분해 해 봅시다 이 문제에 접근하는 방식은 여러 번 해 보셨겠지만 (x + a)(x + b)가 있을 때 이를 곱하면 그 값은 x² + (a + b)x + ab가 될 것입니다 이제 이 식을 (x + a)(x + b)꼴로 인수분해 할 수 있는지 확인해 봅시다 a + b는 -20이 되어야 하며 ab는 상수항 100과 같아야 합니다 합이 -20이고 곱이 100이 되는 두 정수는 무엇이 있을까요? 먼저 두 수의 곱이 양수이므로 두 정수의 부호는 같습니다 두 수 모두 양수이거나 모두 음수가 될 거예요 두 정수의 곱이 양수이기 때문이죠 두 수의 합은 음수이므로 두 수 모두 음수가 됩니다 양수를 더해서 음수를 만드는 것은 불가능하기 때문에 두 수는 음수가 될 거예요 그렇다면 더해서 -20이 되고 곱해서 100이 되는 두 음수는 무엇일까요? 먼저 100을 소인수분해 해 보면 -2 × -50 또는 -4 × -25가 될 수도 있지만 -10 × -10이 될 수도 있습니다 이렇게 써 볼게요 (-10)(-10) 그러면 -20을 (-10) + (-10)으로 쓸 수 있습니다 따라서 a와 b 모두 -10이 될 것입니다 식의 좌변을 다시 써 봅시다 (x + -10)(x + -10) = 0 일단 이렇게 써 볼게요 이렇게 식을 인수분해 했습니다 이 식을 다른 방법으로 쓰려면 (x - 10)과 같으므로 (x - 10)² = 0이라고 쓸 수도 있습니다 좌변이 0이 되려면 (x - 10)이 0이 되어야 합니다 양변에 제곱근을 씌울 수도 있는데 제곱근은 양의 제곱근이든 음의 제곱근이든 상관 없어요 0의 제곱근은 0이기 때문입니다 그러므로 x - 10 = 0이어야 하며 양변에 10을 더하면 x = 10을 구할 수 있습니다 이것이 주어진 방정식의 해가 됩니다