이차방정식 문제 해결하기: 삼각형

삼각형의 높이는 밑변의 길이보다 4인치 짧습니다 삼각형의 넓이가 30제곱인치일 때 높이와 밑변의 길이를 구해 봅시다 삼각형의 넓이 공식 A(넓이) = 1/2 × b(밑변) × h(높이)를 이용하세요 생각해 봅시다 삼각형을 그려 볼게요 밑변의 길이를 b라 하고 여기 높이를 h라고 할게요 A(넓이)는 1/2 × b(밑변) × h(높이)입니다 문제의 첫번째 문장에 따르면 삼각형의 높이는 밑변의 길이보다 4인치 짧습니다 즉, h(높이) = b(밑변) - 4입니다 넓이는 30제곱인치니까 1/2 × 밑변 × 높이는 30제곱인치 즉, 30 = 1/2 b(밑변) h(높이)입니다 높이에 h를 쓰는 대신 높이가 밑변보다 4만큼 짧다는 것을 알고 있으니까 h에 b - 4를 넣어줍시다 그러면 어떻게 될까요? 노란색으로 쓰겠습니다 30 = 1/2 · b(b - 4)입니다 b를 분배할건데요 식을 다시 써 볼게요 30 = b/2 · (b - 4) 1/2과 b를 곱했어요 이제 b를 분배해 봅시다 b/2 × b = b^2/2이고 b/2 × (-4) = -2b이므로 30 = b^2 / 2 - 2b입니다 여기서 분수를 없애기 위해 방정식의 양변에 2를 곱합시다 양변에 2를 곱하면 좌변은 60 이 되고 우변은 2 × b^2/2 = b^2이고 -2b × 2 = -4b이므로 b^2 - 4b가 됩니다 이차식을 푸는 가장 좋은 방법은 방정식의 모든 항을 한쪽 변으로 옮겨서 한쪽 변이 0이 되도록 하는 것입니다 그러니 방정식의 양변에서 60을 뺍시다 그러면 식은 0 = b^2 - 4b - 60이 됩니다 이제 인수분해를 해야 합니다 어떤 것의 곱이 0이면 그 중 적어도 하나는 0이어야 합니다 이제 b^2 - 4b - 60을 인수분해 해 봅시다 여기에서 찾는 수는 합이 -4이고 곱이 -60인 두 수입니다 a + b = -4이고 ab = -60인 두 수를 곱이 음수이므로 두 수의 부호는 서로 다릅니다 그리고 두 수의 합에서 절댓값의 차는 4이며 하나가 다른 하나보다 4만큼 작다는 것을 알 수 있습니다 60의 인수들을 살펴보면 1과 60은 차이가 너무 큽니다 하나를 음수로 놓아도 두 수의 합은 +59 또는 -59가 됩니다 2와 30도 차이가 너무 크고 3과 20도 차이가 너무 큽니다 3과 20중 하나가 음수이면 합은 -17 또는 +17이 될 것입니다 4와 15도 차이가 너무 크죠 두 수 중 하나가 음수이면 합이 -11 또는 +11이 됩니다 5와 12도 차이가 너무 큽니다 두 수 중 하나를 음수로 두면 두 수의 합은 합은 +7 또는 -7입니다 6과 10을 보면 두 수는 4만큼 차이납니다 합이 음수가 되려면 큰 수가 음수가 되야 하므로 6 과 -10으로 하면 합은 -4가 되고 곱은 -60이 되어 조건을 충족합니다 따라서 이 식은 (b + 6)(b - 10)이 됩니다 (b + a)(b - b)인 것이죠 여기서 주의해야 할 것이 있습니다 a + b 와 ab의 b는 방정식에서 사용하고 있는 b와 다릅니다 여기서 사용한 b는 합이 -4가 되는 두 수를 찾기 위해 사용한 것으로 방정식의 b와 다른 b입니다 x와 y를 사용해서 x + y = -4, xy = -60라고 할 수 있어요 헷갈리니까 이렇게 써 볼까요? x + y = -4이고 xy = -6입니다 그러면 (b + x)(b + y)이고 x = 6, y = -10이므로 0 = (b + 6)(b - 10)가 됩니다 먼저 여기서 방정식을 풀어보고 다시 뒤로 돌아가서 묶어서 푸는 방법을 보여 줄게요 이 식에서 두 항 중 적어도 하나는 0이 되어야 하므로 b + 6 = 0 또는 b - 10 = 0입니다 이 방정식의 양변에서 6을 빼면 b = -6이고 이 방정식의 양변에 10 을더하면 b = 10입니다 이것이 방정식의 두 해이고 이를 다시 식에 대입해서 성립하는지 확인할 수 있어요 이제 방정식을 다른 방법으로 풀어 볼 건데요 그래도 답은 같을 것입니다 -4b를 구성요소인 + 6b - 10b로 쪼개 봅시다 0 = b^2 + 6b -10b - 60으로 만든 후 묶어서 인수분해 할 수 있습니다 처음 두 항과 뒤의 두 항을 각각 묶은 후 둘을 더하세요 처음 묶음에서 b를 뽑아내면 b(b + 6) 뒤의 묶음에서 -10을 뽑아내면 -10(b + 6) 따라서 0 = b(b + 6) -10(b + 6)입니다 이제 이 식에서 b + 6을 뽑아내면 0 = (b - 10)(b + 6) 이 식을 인수분해 해 보았습니다 (b + 6)으로 묶어주었더니 (b - 10)이 남았습니다 아까 풀었던 방정식과 똑같은 형태가 되었죠 어떤 방법으로 풀든지 해는 b = -6, b = 10입니다 하지만 이것은 문장제 문제입니다 해가 문제의 맥락에 적합한지 생각해 보아야 합니다 삼각형의 길이에 관한 문제였죠 길이는 음수가 될 수 없기 때문에 -6은 지울 수 있습니다 그러므로 해는 한 개만 남습니다 밑변 길이가 될 수 있는 것은 10입니다 문제에서 높이와 밑변을 구하라고 했죠 아까 구했듯이 밑변은 10이고 높이는 밑변보다 4인치 짧으니까 b - 4 따라서 높이는 6입니다 확인해 볼까요? 넓이는 6 × 10 × 1/2 = 30 맞습니다