인수분해를 이용하여 이차방정식 풀기

s에 대해 푸는 문제로 s^2 - 2s - 35 = 0을 풀어야 합니다 이런 2차방정식을 처음 보면 아마도 고전적인 대수적인 방법을 이용해서 s에 관해 풀 생각을 할 겁니다 하지만 이처럼 식이 0인 상황에서 가장 좋은 풀이는 좌변의 식을 인수분해하고 인수분해로 얻은 두 1차식의 곱이 우변인 0과 같아야 한다는 점을 이용하는 겁니다 실제로 해 볼까요 우선 좌변은 어떻게 인수분해할까요 몇 가지 방법이 있는데 지금까지 해온 일반적인 방식인 항끼리 묶는 방법을 이용하고 2차항 계수가 1인 점을 이용하는 더 쉬운 방법도 써 봅시다 인수분해를 위해서 항을 묶으려면 우선 합이 -2인 두 수를 생각해야 합니다 즉 두 수의 합 a+b 가 -2가 되면서 두 수의 곱 ab 가 -35가 되는 a 와 b를 알아내야 합니다 곱이 음수이니 a, b 중 하나는 양수이고 나머지 하나는 음수여야 합니다 또 두 수의 합이 -2라는 점을 생각해본다면 a와 b는 5와 -7이라는 점을 알 수 있습니다 항을 묶어서 인수분해하기 위해 1차항을 쪼갭시다 우선 s^2항은 그대로 두고 1차항을 +5s와 -7s 로 나눠 쓸 수 있고 상수항은 그대로 -35로 쓸 수 있습니다 이 항들은 결국 우변인 0과 같습니다 이제 항끼리 묶어서 인수분해를 해 봅시다 우리는 앞의 두 항을 묶을 수 있는데 묶인 두 항은 s를 공통인수로 갖습니다 공통인수를 따로 빼내면 s(s+5) 가 되네요 전개하면 처음의 s^2 + 5s와 같은 식입니다 뒤에 남은 두 항도 묶으면 공통인수로 -7을 가지니 -7도 빼내면 -7(s+5) 가 되네요 이렇게 변형해도 물론 우변인 0과 같습니다 묶어낸 두 항은 모두 공통인수로 (s+5)를 갖네요 마찬가지로 s+5또 빼낼 수 있습니다 s+5를 따로 쓰고 s(s+5)가 되도록 s를 쓴 후 -7(s+5)가 되게 -7을 쓰면 됩니다 이제 s+5를 빼낸 식이 되었고 이 식도 마찬가지로 0과 같습니다 이제 인수분해가 끝났으니 이제 처음에 말한대로 두 식의 곱에 대해 생각해봅시다 s+5는 결국 숫자고 s-7 도 결국 어떤 다른 숫자인데 우리는 두 수의 곱이 0이라는 것을 알고 있습니다 두 수 A와 B의 곱 AB가 0이라면 A와 B는 어떤 수여야 하나요 결국 A와 B 중 하나가 0이거나 A, B 모두가 0이 되어야 합니다 그러니 s+5와 s-7의 곱이 0이라는 것은 결국 생각해보면 s+5=0 이거나 또는 s-7=0 이라는 의미가 됩니다 s+5 와 s-7이 모두 0이거나 두 식 중 하나가 0이여야 겠지요 그럼 s를 구해봅시다 우선 s+5 = 0의 경우 양변에서 5를 빼면 좌변인 s는 -5와 같게 됩니다 s = -5가 한 근이 되겠고 s-7 = 0의 경우 양변에 7을 더하면 s는 7과 같게 됩니다 그러니 s가 -5이거나 7일 때 이 2차 방정식이 성립합니다 검산해볼까요 s = -5를 방정식에 대입하면 25 + 10 - 35 가 되고 계산하면 0이 되니 성립합니다 s=7일 때는 49 - 14 - 35가 되고 역시 계산하면 0과 같습니다. 2차 방정식을 s에 대해 풀었네요 앞서 더 쉬운 방법이 있다고 했었죠 이 문제처럼 인수분해 할 때 최고차항의 계수가 1이라면 아까 한 것 처럼 2단계에 걸쳐서 인수분해를 하지 않아도 됩니다 예를 들어볼까요 (x+a)(x+b) 라는 식은 전개하면 어떤 식이 나올까요 x 곱하기 x 인 x^2 x 곱하기 b 인 bx a 곱하기 x 인 ax a 곱하기 b 인 ab가 나오니 ax와 bx 항을 합해서 정리하면 x^2 + (a+b)x + ab가 됩니다 이 형태의 식이 최고차항이 1인 식의 일반적인 모습입니다 문제의 식도 최고차항이 1이니 문제의 -2s에서 -2가 계산한 식의 a+b에 해당하고 ab는 -35에 대응되니 바로 간단하게 인수분해 할 수 있습니다 문제의 식도 a가 있는 1차식과 b가 있는 1차식 둘의 곱으로 바꿀 수 있습니다 이미 알다시피 a와 b는 5와 -7 이지요 5 + (-7) 은 -2 이고 5 곱하기 (-7) 은 -35 이니 말입니다 이를 이용해서 인수분해하면 s에 관한 식이니까 곧바로 (s+5)(s-7) 로 인수분해 할 수 있습니다 이렇게 바로 인수분해 할 수 있고 앞서 했던 것과 마찬가지로 이 식은 우변인 0과 같습니다. 이 방법이 더 빠르긴 하지만 묶어서 인수분해하는 것 역시 문제 풀기에 아주 적합한 방법입니다